O#A定积分的换元积分法求定积分Vsinx-sinxdx.解因为/sinx-sinx=Vsinxcosx=cosx|/sinx，在[0,]上，|cosx=cosx；在「，元]上，|cosx=-cosx.于是Vsin x- sin'xdx=lcosx/Vsin xdx=Vsin xdsinx-Vsin xdsinx232322242sin2sin211X3333372
定积分的换元积分法 6 例 2 解
O定积分的换元积分法结论1设函数y=f(x)在区间[-a,a](a>0)上连续，试证：(1 b, f(x)dx = Lf(x)+ f(- x)]dx0，f(x)是奇函数(2 b. f(x)dx =2.f(x)dx,f(x)是偶函数
定积分的换元积分法 7 结论1
OAA定积分的换元积分法结论1设函数y= f(x)在区间[-a,α](α>0)上连续，试证：(1 6, f(x)dx = Lf(x)+ f(- x)]dx0，f(x)是奇函数，(2 6 f(x)dx =)20 f(x)dx,f(x)是偶函数D证（1）因为函数y=f(x)在[-a,a]上连续，所以f(x)dx存在，由定积分积分区间的可加性得. f(x)dx=0. f(x)dx+f(x)dx,对上式中的of(x)dx，设x=-t,则dx=-dt，且当x=-α时，t=a;当x=0时，t=0.于是O. f(x)dx =-O F(-0)dt = f(-1)d = f(-x)dx,所以. f(x)dx =[f(x)- f(x)]dx.8
定积分的换元积分法 8 证 结论1
P定积分的换元积分法（2）特别的，当y=f(x)是奇函数时，则有f(-x）)=-f(x），于是0 f(x)dx = 0, f(x)dx + f(x)dx = - f(x)dx + f(x)dx = 0;当y=f(x)是偶函数时，则有f(-x)=f(x），于是O, f(x)dx = 0. f(x)dx + 0 f(x)dx = f(x)dx + 0 f(x)dx = 20 f(x)dx.原式成立上题（2）中的结论，我们可从定积分的几何意义上加以理解，如图所示注同时，本题的结论也可当作公式来用，以简化定积分计算(a)(b)
定积分的换元积分法 9 y=f( x) y y O a x O x y=f( x) + - a - a - a （a） （b）