§4.1数学期望 例3如何确定投资决策方向？ 某人有10万元现金，想投资 于某项目，欲估成功的机会为30 %,可得利润8万元，失败的机会 为70%，将损失2万元.若存入银 行，同期间的利率为5%，问是否 作此项投资？ 8 -2 解 设X为投资利润，则卫 0.3 0.7 E(X)=8×0.3-2×0.7=1(万元)， 存入银行的利息：10×5%=0.5（万元）， 12/92 故应选择投资
12/92 例3 如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金, 想投资 于某项目, 欲估成功的机会为 30 %, 可得利润8万元 , 失败的机会 为70%, 将损失 2 万元.若存入银 行, 同期间的利率为5% , 问是否 作此项投资? 解 设 X 为投资利润,则 E(X) = 8 0.3 − 2 0.7 = 1(万元), 存入银行的利息: 10 5% = 0.5(万元), 故应选择投资. X p 8 − 2 0.3 0.7 §4.1 数学期望
§4.1数学期望 4n 例设随机变量X服从T(α，B)分布，其密度函数为 x≤0 f)=ala)-ea.x>0 求E(X) 解R-Tare=A I(a) Br(a+1)=aB I(a) 当a=1时，X服从参数为的指数分布这时E(X)=B. I(s)=Jx-e-dx 13/92
13/92 例 设随机变量X服从 (,)分布,其密度函数为 = − − , 0 ( ) 1 0, 0 ( ) 1 / x e x x f x x 求E(X) §4.1 数学期望 1 , ( ) . ( 1) ( ) ( ) / ( ) 1 0 0 / = = + = = = + − + − X E X e dy y x e dx y x y x 当 时 ， 服从参数为 的指数分布这 时 解 E(X)= − − = 0 1 (s) x e dx s x
§4.1数学期望 例 按规定，某车站每天8：00~9：00,9：00 10:00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机 的，且两者到站的时间相互独立其规律为 8:10 8:30 8:50 到站时刻 9:10 9:30 9:50 1 3 2 概率 -6 6 6 ()一旅客8：00到车站，求他候车时间的数学期望. (一旅客8：20到车站，求他候车时间的数学期望 14/92
14/92 的 且两者到站的时间相互独立 其规律为 都恰有一辆客车到站 但到站的时刻是随机 按规定 某车站每天 , . 10 : 00 , , 8 : 00 ~ 9 : 00, 9 : 00 ~ 到站时刻 概率 9 :10 8 :10 9 : 30 8 : 30 9 : 50 8 : 50 6 1 6 3 6 2 (i) 一旅客8 : 00到车站,求他候车时间的数学期望. (ii) 一旅客8 : 20到车站,求他候车时间的数学期望. 例 §4.1 数学期望
§4.1数学期望 解设旅客的候车时间为X(以分计) ①X的分布律为 Y 10 30 50 1 3 2 -6 6 6 候车时间的数学期望为 3 2 E(X)=10×6+30×后+50×6=3.3（分 6 6 (X的分布律为 X 10 30 50 70 90 3 2 11 1.3 12 Pk 6 6 6×6 6×6 66 候车时间的数学期望为 E(X)= 3 2 11 .1 3 12 10×二+30×二+50××+70××+90××=27.22（分）. 6 6 66 6 66 15/92
15/92 解 设旅客的候车时间为 X(以分计). (i) X的分布律为 X pk 10 6 1 306 3 506 2 候车时间的数学期望为 6 2 50 6 3 30 6 1 E(X) = 10 + + = 33.33(分). (ii) X 的分布律为 X pk 10 6 3 306 2 506 1 6 1 706 3 6 1 906 2 6 1 6 2 6 1 90 6 3 6 1 70 6 1 6 1 50 6 2 30 6 3 10 ( ) + + + + E X = = 27.22(分). 候车时间的数学期望为 §4.1 数学期望
§4.1数学期望 。随机变量的函数的数学期望 。比如：飞机机翼受到的正压力W=kV2是风速V 的函数，如果V的分布已知，如何求得W的数学 期望，而无需先求出W的分布 先由V的分布求其函数W的分布，再求数学期望 是可以的，而还有更简单直接的求解方法 16/92
16/92 §4.1 数学期望 随机变量的函数的数学期望 ⚫ 比如：飞机机翼受到的正压力W＝kV2是风速V 的函数，如果V的分布已知，如何求得W的数学 期望，而无需先求出W的分布 ⚫ 先由V的分布求其函数W的分布，再求数学期望 是可以的，而还有更简单直接的求解方法