§4.1数学期望 数学期望简称期望，又称为均值 96 物理意义 。质心的概念：可以把物体的质量看作是集中在一点处， 如果一条直线的质量线密度为)，x为直线上任一质点 的坐标，那么直线的质心的位置x=? x。f(x)cfx)dc 现在如果x)是概率密度，则 xxf(x)dxf(x)dxf(x)d 即x=EX),数学期望相当于质心的坐标 7/92
7/92 §4.1 数学期望 数学期望简称期望，又称为均值 物理意义 ⚫ 质心的概念：可以把物体的质量看作是集中在一点处， 如果一条直线的质量线密度为f(x)，x为直线上任一质点 的坐标，那么直线的质心的位置xc＝？ xc ＝ / 现在如果f(x)是概率密度，则 xc ＝ / ＝ /1 即xc ＝E(X)，数学期望相当于质心的坐标 − xf (x)dx − f (x)dx − xf (x)dx − f (x)dx − xf (x)dx
§4.1数学期望 o1 )是实数而非变量，它是一种加权平均，与一般变量的 算术平均值不同。 ⊙大量试验的算术平均值趋近于期望 只有级数的和或广义积分的值存在，数学期望才有意义， 而有时是不存在的 注意绝对收敛与条件收敛的区别，某些交错级数是条件收敛的， 其和可能不为一，因此期望不存在。如果一个数项级数{}的各项 取绝对值后满足收敛，则称数项级数{u}绝对收敛，相应的如果绝 对值的积分收敛，则绝对收敛 。数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布所确定 若X服从某一分布，也称EX)为这一分布的数学期望， 比如二项分布，均匀分布等的数学期望 8/92
8/92 §4.1 数学期望 E(X)是实数而非变量，它是一种加权平均，与一般变量的 算术平均值不同。 大量试验的算术平均值趋近于期望 只有级数的和或广义积分的值存在，数学期望才有意义， 而有时是不存在的 ⚫ 注意绝对收敛与条件收敛的区别，某些交错级数是条件收敛的， 其和可能不为一，因此期望不存在。如果一个数项级数{un }的各项 取绝对值后满足收敛，则称数项级数{un }绝对收敛，相应的如果绝 对值的积分收敛，则绝对收敛 数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布所确定 ⚫ 若X服从某一分布，也称E(X)为这一分布的数学期望， 比如二项分布，均匀分布等的数学期望
§4.1数学期望 例设随机变量X服从柯西分布，其密度函数为 π1+x2) -00<X<+0） 求E(X). 解：由于积分x引元1+x dx 因此柯西分布的数学期望不存在. 9/92
9/92 例 设随机变量 X服从柯西分布,其密度函数为 求E(X). 解: 由于积分 因此柯西分布的数学期望不存在. ( ) (1 ) 1 ( ) 2 − + + = x x f x = + + − (1 ) | | 2 x dx x §4.1 数学期望
§4.1数学期望 例：甲乙两人打靶，所得分数X和Y分布律为 X 0 2 Y01 2 Pk00.20.8 pk0.60.30.1 试评定它们成绩的好坏 解主要看多次射击的得分均值，即数学期望， 离散型：EX)=∑xP k=1 EX)=0×0+1×0.2+2×0.8=1.8分 EY)=0×0.6+1×0.3+2×0.1=0.5分 所以乙的成绩远不如甲的成绩 10/92
10/92 §4.1 数学期望 例：甲乙两人打靶，所得分数X和Y分布律为 X 0 1 2 Y 0 1 2 pk 0 0.2 0.8 pk 0.6 0.3 0.1 试评定它们成绩的好坏 解 主要看多次射击的得分均值，即数学期望， 离散型：E(X)＝ E(X)＝0×0＋1×0.2＋2×0.8=1.8分 E(Y)＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1=0.5分 所以乙的成绩远不如甲的成绩 k=1 k pk x
§4.1数学期望 例2有两个相互独立工作的电子装置，寿命X和X2服从同 指数分布 f)=1 ,x>0 ,0>0. 其它 若将二者串联成整机，求整机寿命N的数学期望EW) 解N=min(X,X2),要求期望，先求概率密度，本题要先 求NW的分布函数 ∴.Fmim(x)=1-[1-Fx)]2 1X1,X,独立同分布 ,x>0 其它 1-e2x1,x>0 .Fmin(x)=12-[1-Fx川2=0， 其它 ..fmin(x) e2x9,x>0 ，服从参数为2的指数分布 0. 其它 .EW)=fmn(x)dc=/2,指数分布的均值即参数2 1/92
11/92 §4.1 数学期望 例2 有两个相互独立工作的电子装置，寿命X1和X2服从同一 指数分布 f(x)＝ ，θ>0. 若将二者串联成整机，求整机寿命N的数学期望E(N) 解 N=min(X1 ,X2 )，要求期望，先求概率密度，本题要先 求N的分布函数 ∴Fmin(x)＝1－[1－F(x)]2 //X1 ,X2独立同分布 又F(x)= ， ∴Fmin(x)＝1－[1－F(x)]2＝ ∴fmin(x)＝ ，服从参数为θ/2的指数分布 ∴E(N)＝ =θ/2，指数分布的均值即参数θ/2 − 0, 其它 , 0 1 / e x x − − 0, 其它 1 , 0 / e x x − − 0, 其它 1 , 0 2 / e x x − 0, 其它 , 0 2 2 / e x x − xfmin (x)dx