教学过程附注0X1Pp1-p两点分布有计数器的功能。两点分布可用来描述一切只有两种可能结果的随机试验例如，检验一个产品是否为合格品，卫星的一次发射是否成功，足球比赛中一支队伍是否取胜等.2.二项分布定义若随机变量X的分布列为P(X=k)=Chp*q"-k,k=0,1,2,..,n其中0<p<1l,q=1-p，则称X服从参数为n,p的二项分布，记为X~B(n,p)注（1）Cpq"-k恰好是二项式（p+q）"的展开式中的第k+1项，这就是二项分布名称的由来。由此也可得ZP(X=k)=ctpg-* =(p+g)"=1.h=o K=0（2）伯努利概型中事件A发生的次数X即服从二项分布，这就是说，二项分布的产生背景是n重伯努利试验.（3）特别地，当n=1时，二项分布就是两点分布，所以两点分布可记为B(1, p).（4）二项分布的中心项当(n+1)p=m为正整数时，m和m-1均为最可能取值；当(n+1)p不是正整数时，则满足(n+1)p-1<m≤(n+1)p的整数即为最可能取值.例如，假设英语考试，每题一分，共100题，如果考生一点不会，他随意填涂答题卡，他最有可能的得分是多少？他能通过考试的概率是多大？X ~B(100, =)，[(n+1)p]=[25.25]=25分，因此蒙过考试的可能性4并不大。（5）两点分布的独立和是二项分布，或者说可以把二项分布分解为（0-1）注：以投篮为例进分布独立和，这在解题中对于简化计算很有帮助。行解释，例2某人购买彩票，每次买一张，中奖率0.01，共买500次，试求他至少中奖两次的概率？小概率事件解设X为中奖的次数，根据题意知X～B(500,0.01)，则所求的概率为原理：在一次试验中几乎不会发生，-36 -
- 36 - 教学过程 附 注 X 1 0 P p 1− p 两点分布可用来描述一切只有两种可能结果的随机试验．例如，检验一个 产品是否为合格品，卫星的一次发射是否成功，足球比赛中一支队伍是否取胜 等． 2．二项分布 定义 若随机变量 X 的分布列为 { } , 0,1,2, , k k n k P X k C p q k n n − = = = (2.3) 其 中 0 p 1,q = 1− p ，则称 X 服 从 参 数 为 n, p 的 二 项 分 布 ， 记 为 X ~ B(n, p) . 注（1） k k n k C p q n − 恰好是二项式 ( )n p q + 的展开式中的第 k +1 项，这就是 二项分布名称的由来．由此也可得 0 0 ( ) 1 n n k k n k n n k k P X k C p q p q − = = = = = + = ． （2）伯努利概型中事件 A 发生的次数 X 即服从二项分布，这就是说，二 项分布的产生背景是 n 重伯努利试验． （3）特别地，当 n =1 时，二项分布就是两点分布，所以两点分布可记为 B p (1, )． （4）二项分布的中心项 当 ( 1) n p m + = 为正整数时， m 和 m −1 均为最可能取值；当 ( 1) n p + 不 是正整数时，则满足 ( 1) 1 ( 1) n p m n p + − + 的整数即为最可能取值． 例如，假设英语考试，每题一分，共 100 题，如果考生一点不会，他随意 填涂答题卡，他最有可能的得分是多少？他能通过考试的概率是多大？ 1 ~ (100, ) 4 X B ，( 1) 25.25 25 n p + = = 分，因此蒙过考试的可能性 并不大。 （5）两点分布的独立和是二项分布，或者说可以把二项分布分解为（0-1） 分布独立和，这在解题中对于简化计算很有帮助。 例 2 某人购买彩票，每次买一张，中奖率 0.01，共买 500 次，试求他至 少中奖两次的概率？ 解 设 X 为中奖的次数，根据题意知 X B ~ (500,0.01) ，则所求的概率为 两点分布有计数 器的功能。 注：以投篮为例进 行解释. 小概率事件 原理：在一次试验 中几乎不会发生
教学过程附注在大量重复试验P(X ≥2) =1- P(X = 0)+ P(X = 1)中的发生几乎是=1-(0.99)500 500·(0.01)·(0.99)499 0.96肯定的。例3某特效药的临床有效率为75%，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率是多少？解设X为10人中被治愈的人数，根据题意知X～B(10,0.75)，则所求的概率为P(X ≥8) = P(X =8)+ P(X =9)+ P(X =10)=C%(0.75) (0.25)* +C%(0.75)(0.25) +Cl8(0.75)=0.2816+0.1877+0.0563=0.5256小结：本节学习了三个内容：随机变量的概念；离散型随机变量及其概率分布的概念；常见离散型随机变量的分布：（0一1）分布、二项分布。课后作业：超星学习平台线上作业；P56习题二：2一一10-37-
- 37 - 教学过程 附 注 P X P X P X { 2} 1 { 0} { 1} = − = + = 500 499 = − − 1 (0.99) 500 (0.01) (0.99) 0.96 例 3 某特效药的临床有效率为 75% ，今有 10 人服用，问至少有 8 人治愈 的概率是多少？ 解 设 X 为 10 人中被治愈的人数，根据题意知 X B ~ (10,0.75) ，则所求 的概率为 P X P X P X P X { 8} { 8} { 9} { 10} = = + = + = 8 8 2 9 9 1 10 10 10 10 10 = + + C C C (0.75) (0.25) (0.75) (0.25) (0.75) = + + = 0.2816 0.1877 0.0563 0.5256 ． 小 结: 本节学习了三个内容：随机变量的概念；离散型随机变量及其概率分布 的概念；常见离散型随机变量的分布：（0—1）分布、二项分布。 课后作业：超星学习平台线上作业；P56 习题二 ：2——10 在大量重复试验 中的发生几乎是 肯定的
第七讲2.2离散型随机变量2.3随机变量的分布函数本节、常见离散型随机变量的分布（续）：泊松分布、几何分布、超几何分布内容二、随机变量的分布函数提要教学掌握泊松分布、几何分布、超几何分布1.目的2了解二项分布的泊松逼近近似计算要求3.掌握随机变量的分布函数的概念和性质重点随机变量的分布函数的概念和性质难点二项分布的泊松逼近，随机变量的分布函数的概念学时2学时与主要常见离散型随机变量的分布（续）：泊松分布、几何分布、超几何分布45分钟内容随机变量的分布函数40分钟时间小结5分钟分配教学方法启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星和手学习平台的线上和线下融合的混合式教学段2.3随机变量的分布函数一节中，由分布列求分布函数的题型，学生接受起来比较吃力，需加强引导和练习。教学经验总结-38-
- 38 - 第七讲 2.2 离散型随机变量 2.3 随机变量的分布函数 本节 内容 提要 一、常见离散型随机变量的分布（续）：泊松分布、几何分布、超几何分布 二、随机变量的分布函数 教学 目的 要求 1． 掌握泊松分布、几何分布、超几何分布 2． 了解二项分布的泊松逼近近似计算 3． 掌握随机变量的分布函数的概念和性质 重点 随机变量的分布函数的概念和性质 难点 二项分布的泊松逼近，随机变量的分布函数的概念 学时 与 主要 内容 时间 分配 2 学时 常见离散型随机变量的分布（续）：泊松分布、几何分布、超几何分布 45 分钟 随机变量的分布函数 40 分钟 小结 5 分钟 教学 方法 和手 段 启发式、探究式和讲授式教学法，使用多媒体课件、雨课堂等智慧教学手段，基于超星 学习平台的线上和线下融合的混合式教学 教学 经验 总结 2.3 随机变量的分布函数一节中，由分布列求分布函数的题型，学生接受起来比较吃力， 需加强引导和练习
教学过程附注复习提问：随机变量的概念、作用；离散型随机变量分布列的性质：（0一1）分布、二项分布的分布列、背景。讲授新课接着上节课来学习常见离散型随机变量的分布：三、几个重要的离散型随机变量及其分布列（续）3.泊松分布定义如果随机变量X所有可能取的值为0,1,2，它取各个值的概率为元e-^,(k =0,1,2,...),P(X=k)=-k!其中入>O是常数，则称X服从参数为入的泊松(Poisson）分布，记为X~ P(2)显然，PX=k)≥0,k=0,1,2*.，且有Pa'e-^akZp(X=k)-)=e-^-e" -l.=e k!=e"k=o k!k=0泊松分布是最常用的离散型分布之一，在各领域中有着广泛的应用，常用来描绘质点在时间或空间上的分布情况：例如某段时间内电话机接到的呼唤次数：候车的乘客数：公路交叉口处在单位时间内通过的车辆数：某页书上印刷错误的个数；纺织厂生产的一定数量的布匹上的疵点数；某医院在一天内的急诊病人数；一定时间内出现的稀有事件数（如灾害、意外事故）等都可以用泊松分布来描述例1某商店根据过去的销售记录，总结出某种商品每月的销售量可以用参数为2=5的泊松分布来描述，试求（1）下个月该商店销售2件此种商品的概率是多少？（2）下个月该商店销售此种商品多于3件的概率是多少？（3）为了以95%以上的概率保证不脱销，问商店在月底应存多少件该种商品?解设该商店每月销售该商品的件数为X，依题意X～P(5)，且5k-5,(k =0,1,2,...).P(X =k):k!-39 -
- 39 - 教学过程 附 注 复习提问： 随机变量的概念、作用；离散型随机变量分布列的性质；（0—1）分布、二 项分布的分布列、背景。 讲授新课 接着上节课来学习常见离散型随机变量的分布： 三、几个重要的离散型随机变量及其分布列（续） 3．泊松分布 定义 如果随机变量 X 所有可能取的值为 0,1,2, ,它取各个值的概率为 { } ,( 0,1,2, ) ! k P X k e k k − = = = ， 其中 0 是常数，则称 X 服从参数为 的泊松(Poisson )分布，记为 X P ~ ( ) . 显然， P X k k { } 0, 0,1,2, = = ，且有 0 0 0 e e e e 1 k k k k k P X k k k − − − = = = = = = = = ！ ！ ． 泊松分布是最常用的离散型分布之一，在各领域中有着广泛的应用，常用 来描绘质点在时间或空间上的分布情况．例如某段时间内电话机接到的呼唤次 数；候车的乘客数；公路交叉口处在单位时间内通过的车辆数；某页书上印刷 错误的个数；纺织厂生产的一定数量的布匹上的疵点数；某医院在一天内的急 诊病人数；一定时间内出现的稀有事件数（如灾害、意外事故）等都可以用泊 松分布来描述． 例 1 某商店根据过去的销售记录，总结出某种商品每月的销售量可以用 参数为 = 5 的泊松分布来描述 试求： （1）下个月该商店销售 2 件此种商品的概率是多少？ （2）下个月该商店销售此种商品多于 3 件的概率是多少？ （3）为了以 95%以上的概率保证不脱销 问商店在月底应存多少件该种商 品？ 解 设该商店每月销售该商品的件数为 X 依题意 X P ~ (5) ，且 5 5 { } ,( 0,1,2, ) ! k P X k e k k − = = = ．
教学过程附注3（1）销售2件产品的概率为PX=2：=0.0842.2!（2）多于3件的概率为254P(X≥3)=1-P(X≤2)=1-=0.8753.Ko k!（3）设月底存货为α件，则当X≤a时该商品就不会脱销，即要求a使得PX≤a)≥0.95，有54P(X≤a)=P(X=k)=2-5≥0.95k=o k!k=0查附表 1泊松分布表知之兴。=0.968>0.95，所以a最小应是9.于o k!是，这家商店只要在月底保证存货不低于9件就能以95%以上的概率保证下个月该种商品不会脱销泊松分布作为二项分布的一种近似.在二项分布B(n,p)中，当n较大时，计算量很大，而在P较小时使用以下的泊松定理可以减少二项分布中的计算量.定理1（泊松定理）在n重伯努利试验中，记事件A在一次试验中发生的概率为p，（与试验次数n有关），如果当n→+o时，有np，→，则lim Cp(l-P,)="ek!由于泊松定理是在np→入条件下获得的，故在计算二项分布B(n,p)时，当n很大，p很小，而乘积=np大小适中（通常0<np<5）时，可以用泊松定理作近似，即hp*(1-p)"-k,e-a(a= np)k!例2一本500页的书，共有500个错字，每个错字等可能地出现在每页上，求在给定的某一页上最多出现两个错字的概率解因为500个错字随机分布在500页书上，所以错字出现在每一页的概1率都是设X表示在给定的某一页上出现错字的个数，则1500111=1适X ~B(500.)，因为n=500很大，p=很小，np=500x500500500-40-
- 40 - 教学过程 附 注 （1）销售 2 件产品的概率为 2 5 5 { 2} 0.0842 2! P X e− = = = ． （2）多于 3 件的概率为 2 5 0 5 { 3} 1 { 2} 1 0.8753 ! k k P X P X e k − = = − = − = ． （3）设月底存货为 a 件 则当 X a 时该商品就不会脱销 即要求 a 使 得 P X a { } 0.95 ，有 5 0 0 5 { } { } 0.95 ! a a k k k P X a P X k e k − = = = = = . 查附表 1 泊松分布表知 9 5 0 5 0.968 0.95 ! k k e k − = = ，所以 a 最小应是 9．于 是 这家商店只要在月底保证存货不低于 9 件就能以 95% 以上的概率保证下个 月该种商品不会脱销． 泊松分布作为二项分布的一种近似．在二项分布 B n p ( , ) 中，当 n 较大时， 计算量很大，而在 p 较小时使用以下的泊松定理可以减少二项分布中的计算 量． 定理 1（泊松定理） 在 n 重伯努利试验中，记事件 A 在一次试验中发生 的概率为 n p （与试验次数 n 有关），如果当 n → + 时，有 n np → ，则 lim (1 ) ! k k k n k n n n n C p p e k − − →+ − = (2.4) 由于泊松定理是在 n np → 条件下获得的，故在计算二项分布 B n p ( , ) 时， 当 n 很大， p 很小，而乘积 = np 大小适中（通常 0 5 np ）时，可以用泊 松定理作近似，即 (1 ) , ( ) ! k k k n k C p p e np n k − − − = ． 例 2 一本 500 页的书，共有 500 个错字，每个错字等可能地出现在每一 页上，求在给定的某一页上最多出现两个错字的概率． 解 因为 500 个错字随机分布在 500 页书上，所以错字出现在每一页的概 率 都 是 1 500 ． 设 X 表 示 在 给 定 的 某 一 页 上 出 现 错 字 的 个 数 ， 则 ) 500 1 X ~ B(500, ，因为 n = 500 很大， 1 500 p = 很小， 1 500 1 500 np = = 适