陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第七章 线性变换

线性变换的乘积及其运算规律1.定义设,T为线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积t为:(α)(α)=((α)，αV则oT也是V的线性变换事实上，, (t)(α+β) =(t(α+β))=(t(α)+(β)= o(t(α)+α(t(β)) =(t)(α) +(ot)(β),(ot)(kα) = α(t(kα) = (kt(α) = ko(t(α) = k(ot)(α)

1．定义 设  , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 事实上， ( )( ) ( ( )) ( ( ) ( ))                  一、 线性变换的乘积及其运算规律 的乘积  为：              , V 则  也是V的线性变换.               ( ( )) ( ( )) ( )( ) ( )( ), ( )( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )( )              k k k k k 

2.基本性质(ot)8=a(ts)（1）满足结合律：（2）E=E=，E为单位变换（3）交换律一般不成立，即一般地，OT TO

２．基本性质 （1）满足结合律：         （2） E E      ，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，   

例1.线性空间R[x]中，线性变换D(f(x))= f'(x)J(f(x))= J J(t)dt(D)((x)=D(J. f(t)dt) = J(x),即 DJ =E.E而,(JD)((x)= J(F(x)= J F'(t)dt = f(x)-J(0)DJ + JD

例1.线性空间 R x[ ] 中，线性变换 D f x f x                 0 , x DJ f x D f t dt f x                 0 0 x JD f x J f x f t dt f x f        而，   DJ JD.      0 x J f x f t dt   即 DJ E

例2．设A、BEPnxn 为两个取定的矩阵，定义变换o(X)= AX,VXe pnxnT(X) = XB,则, 皆为 pnxn的线性变换，且对VX e pnxn,有(αt)(X) = α(t(X)) = (XB) = A(XB) = AXB(To)(X) = T(α(X) = t(AX) = (AX)B = AXBOT = TO

( ) , X AX  例2. 设A、B 为两个取定的矩阵，定义变换 n n P   则  , 皆为 P n n  的线性变换，且对   X Pn n , 有 ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) ,     X X XB A XB AXB     ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) .     X X AX AX B AXB      ( ) , X XB  n n X P       

线性变换的和二、1. 定义设,T为线性空间V的两个线性变换，定义它们的和为: (+)(α)=(α)+(α),αV则α+T也是V的线性变换事实上， (α+)(α+β)=α(α+β)+t(α+β)=o(α)+o(B)+t(α)+t(β) =(α+t)(α)+(α+t)(β)(α + t)(kα) = o(kα)+ t(kα) = ko(α) + kt(α)= k(α(α) +t(α)) = k(α +)(α)

则    也是V的线性变换. 二、 线性变换的和 1．定义 设  , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的和    为：                   , V 事实上， ( )( ) ( ) ( )                                       ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )                 k k k k k     k k ( ( ) ( )) ( )( ).       