线性变换的简单性质1.o为V的线性变换，则(0)= 0, (-α) =-α(α)2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即若 β=kα+kα,+...+k,αr则 α(β) = k,o(α)+k,o(α)+...+k,o(α,)3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关的向量组．即
1． 为V的线性变换，则 (0) 0, ( ) ( ). 2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即 若 1 1 2 2 , r r k k k 则 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ). r r k k k 3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 二、 线性变换的简单性质 的向量组. 即
若αj,α2,"",α,线性相关，则(α),α(α),.",α(α,)也线性相关，事实上，若有不全为零的数k,k2,,k,使kjα +k,α, +...+k,α,=0则由2即有,kj(α)+ko(α2)+...+k,α(α,)= 0.注：3的逆不成立，即(α),o(α2),.",α(α,)线性相关，α,α2,,α,未必线性相关事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组．如零变换
若 1 2 , , , r 线性相关，则 1 2 , , , r 也线性相关. 事实上，若有不全为零的数 k k k 1 2 , , , r 使 1 1 2 2 0 r r k k k 则由2即有， 1 1 2 2 0. r r k k k 线性相关的向量组. 如零变换. 事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成 注：3的逆不成立，即 1 2 , , , r 线性相关， 1 2 未必线性相关. , , , r
三、有关例子例4下列变换中，哪些是线性变换？1. 在 R中, α(x,X2,x)=(2xi,X2,X2 -X)2. 在P[x],中, α(f(x))= f2(x),3.在线性空间V中，()=+α，αV非零固定4. 在 pnxn中, α(X)= AX, Ae pnxn固定.o(x)=x :5．复数域C看成是自身上的线性空间6.C看成是实数域R上的线性空间，α(x)=x·
例4 下列变换中，哪些是线性变换？ 3．在线性空间V中， , V 非零固定. 4．在 P n n 中， , n n X AX A P 固定. 2．在 P x [ ]n 中， 2 f x f x ( ) ( ). 1．在 中， 3 R x x x x x x x 1 2 3 1 2 2 3 , , (2 , , ). 5．复数域C看成是自身上的线性空间， ( ) . x x 6．C看成是实数域R上的线性空间， ( ) . x x 三、有关例子
第七章知识框架运算（加数乘乘方幂逆）一一对应关系线性变换的矩阵^相似原像与像的坐标关系特征值，特征向量（求法）线性变换对角化人对角化的判定方法特征子空间不变子空间>值域与核及其关系应用（空间分解）最小多项式及性质
（加 数乘 乘 方幂 逆） 一一对应关系 相似 原像与像的坐标关系 特征值，特征向量（求法） 对角化的判定方法 特征子空间 值域与核及其关系 应用（空间分解） 运算 线性变换的矩阵 对角化 不变子空 线性变 间 最小多项式及性质 换 第七章知识框架
$ 7. 2线性变换的运算线性变换的乘积及其运算规律一、纟二、 线性变换的和三、线性变换的数量乘法四、线性变换的逆五、线性变换的多项式
一、线性变换的乘积及其运算规律 二、线性变换的和 §7.2 线性变换的运算 三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式