3.(2021·益阳、湘潭调研）已知函数x）在R上可导，其部分图象如图设()-/)=a, 则下列不等式正确的是(所示，设12-12A. (1)<f" (2)<aB. f (1)<a<f' (2)C. f" (2)<f" (1)<aD. akf' (1)<f' (2)解析：选B由图象可知，在（0，+8o）上，函数f(x)单调递增，且曲线切线的斜率越来越大，(2) -f(1)=a，易知(1)<a<f"(2).2-14.（2021·湖北八校第一次联考）已知曲线C：f(x)=x3一3x，直线1：y=(x一V3a，则a=6是直线1与曲线C相切的（DA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A因为曲线C：f(x)=x3-3x，所以(g)=3x2-3.设直线/与曲线C相切，[3x-3=a,且切点的横坐标为xo，则切线方程为y=(3x-3)x-2x，所以解得[2xi = V3a ,K[xo=V3,os2或所以a=6是直线1与曲线C相切的充分不必要条件，故选(a=.3(a=64'A.5.（多选）如图所示的是物体甲、乙在时间0到1范围内路程的变化情况，下列说法不正确的是(）"A。在0到t范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度ZB.在0到t范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度totiC.在t到ti范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D.在到t范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度30解析：选ABD在0到范围内，甲、乙的平均速度都为U：故A、B错误；to第11页共91页
第 11 页 共 91 页 3.(2021·益阳、湘潭调研)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图 所示，设f (2)－f (1) 2－1 ＝a，则下列不等式正确的是( ) A．f′(1)<f′(2)<a B．f′(1)<a<f′(2) C．f′(2)<f′(1)<a D．a<f′(1)<f′(2) 解析：选 B 由图象可知，在(0，＋∞)上，函数 f(x)单调递增，且曲线切线的斜率越来 越大， ∵ f (2)－f (1) 2－1 ＝a，∴易知 f′(1)<a<f′(2)． 4．(2021·湖北八校第一次联考)已知曲线 C：f(x)＝x 3－3x，直线 l：y＝ax－ 3a，则 a ＝6 是直线 l 与曲线 C 相切的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 A 因为曲线 C：f(x)＝x 3－3x，所以 f′(x)＝3x 2－3.设直线 l 与曲线 C 相切， 且切点的横坐标为 x0，则切线方程为 y＝(3x 2 0－3)x－2x 3 0，所 以 3x 2 0－3＝a， 2x 3 0＝ 3a， 解得 x0＝ 3， a＝6 或 x0＝－ 3 2 ， a＝－ 3 4 ， 所以 a＝6 是直线 l 与曲线 C 相切的充分不必要条件，故选 A． 5．(多选)如图所示的是物体甲、乙在时间 0 到 t1 范围内路程的变化情况，下列说法不 正确的是( ) A．在 0 到 t0 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在 0 到 t0 范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在 t0 到 t1 范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在 t0 到 t1 范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 解析：选 ABD 在 0 到 t0 范围内，甲、乙的平均速度都为 v ＝ s0 t0 ，故 A、B 错误；
2-1-2在到范围内，甲的平均速度为乙的平均速度为因为S2-50>S1-S0，titi - toti - toS2-SoSI-SO->0，所以故C正确，D错误：t-to ti-to6. (多选)诺函数f(x)的导函数F(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(A.f(x)=3cosxB. (x)=x+x1C. f(x)=x+D. f(x)=er+x1解析：选BC对于A，f(x)=3cosx，其导数f(x)=-3sinx，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，(x)=x3+x，其导数f(x)=3x2+1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；，其导数(g)=1-，其导函数为偶函数，图象关于轴对称，对于C,(x)=x+符合题意；对于D，f(x)=e+x，其导数f(x)=e+1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意7.(2021·江西肃昌一模）设函数f(x)在(0，十co)内可导，其导函数为(x)，且f(lnx)一x+lnx，则f(1)=_解析：因为(lnx)=x+lnx，所以(x)=x+et，所以f (α)=1+er,所以f (1)=1+el =1+e.答案：1+eyf(x8.如图，J=(x)是可导函数，直线l：y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xfx)，则曲线g(x)在x=3处的切线方程为23421，即解析：由题图可知曲线y=J(x)在x=3处的切线斜率等于，3f(3) =又g(x)=x(x),所以g (g)=(x)+xf" (x),g(3)=f(3)+3f" (3)，由题图可知(3)=1, 所以g(3)=3(3)=3 , g’ (3)=1+3×(=0，则曲线g(x)在x=3处的切线方程为y-3=0.第12页共91页
第 12 页 共 91 页 在 t0 到 t1 范围内，甲的平均速度为 s2－s0 t1－t0 ，乙的平均速度为 s1－s0 t1－t0 .因为 s2－s0>s1－s0，t1 －t0>0，所以 s2－s0 t1－t0 > s1－s0 t1－t0 ，故 C 正确，D 错误． 6．(多选)若函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象关于 y 轴对称，则 f(x)的解析式可能为( ) A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝x 3＋x C．f(x)＝x＋ 1 x D．f(x)＝e x＋x 解析：选 BC 对于 A，f(x)＝3cos x，其导数 f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图 象不关于 y 轴对称，不符合题意； 对于 B，f(x)＝x 3＋x，其导数 f′(x)＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于 y 轴对称， 符合题意； 对于 C，f(x)＝x＋ 1 x ，其导数 f′(x)＝1－ 1 x 2，其导函数为偶函数，图象关于 y 轴对称， 符合题意； 对于 D，f(x)＝e x＋x，其导数 f′(x)＝e x＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于 y 轴对 称，不符合题意． 7．(2021·江西南昌一模)设函数 f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为 f′(x)，且 f(ln x)＝ x＋ln x，则 f′(1)＝ . 解析：因为 f(ln x)＝x＋ln x，所以 f(x)＝x＋e x， 所以 f′(x)＝1＋e x，所以 f′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e 8.如图，y＝f(x)是可导函数，直线 l：y＝kx＋2 是曲线 y＝f(x)在 x＝ 3 处 的 切线，令 g(x)＝xf(x)，则曲线 g(x)在 x＝3 处的切线方程 为 ． 解析：由题图可知曲线 y＝f(x)在 x＝3 处的切线斜率等于－1 3 ，即 f′(3)＝－ 1 3 .又 g(x)＝xf(x)，所以 g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知 f(3)＝1，所以 g(3)＝3f(3)＝3，g′(3)＝1＋3× － 1 3 ＝0，则曲线 g(x)在 x＝3 处的切线方程 为 y－3＝0
答案：y—3=09.(2021·开射市模拟考试)已知函数(x)=mx+6mx一2e*，若曲线y=f(x)在点(0,(0)处的切线与直线4x+y-2=0平行，则m=解析：F(x)=3mx2+6m-2e，则(0)=6m-2=-4，解得m=-3答案:一10.若函数y=2x3十1与y=3x2一b的图象在一个公共点处的切线相同，则实数b解析：设公共切点的横坐标为xo，函数y=2x3+1的导函数为y=6x2，y=3x2-b的导函数为y=6x，由图象在一个公共点处的切线相同，可得6x=6xo且1+2x=3x-b，解得xo=0，b=-1或xo=1，b=0.故实数b=0或-1.答案：0或—111.已知曲线y=x十x一2在点Po处的切线l平行于直线4x一y一1=0，且点Po在第三象限.(1)求Po的坐标；(2)若直线Ill1，且/也过切点Pe，求直线/的方程解：(1)由y=x+x-2，得y=3x+1,由已知令3x2+1=4，解得x=±1.当x=1时，y=0；当x=-1时，=-4又·点Po在第三象限，..切点Po的坐标为(-1，-4)：(2)：直线11l，l的斜率为4，1：直线1的斜率为一4:1过切点Po，点Po的坐标为（-1，-4)，1：直线1的方程为y+4=7x+ 1) ,即x+4y+17=0212.设函数(x)=(ax曲线y=(x)在点(2，(2)处的切线方程为7x—4y—12=0.(1)求(x)的解析式;第13页共91页
第 13 页 共 91 页 答案：y－3＝0 9．(2021·开封市模拟考试)已知函数 f(x)＝mx3＋6mx－2ex，若曲线 y＝f(x)在点(0，f(0)) 处的切线与直线 4x＋y－2＝0 平行，则 m＝ . 解析：f′(x)＝3mx2＋6m－2ex，则 f′(0)＝6m－2＝－4，解得 m＝－ 1 3 . 答案：－ 1 3 10．若函数 y＝2x 3＋1 与 y＝3x 2－b 的图象在一个公共点处的切线相同，则实数 b ＝ . 解析：设公共切点的横坐标为 x0，函数 y＝2x 3＋1 的导函数为 y′＝6x 2，y＝3x 2－b 的 导函数为 y′＝6x，由图象在一个公共点处的切线相同，可得 6x 2 0＝6x0 且 1＋2x 3 0＝3x 2 0－b， 解得 x0＝0，b＝－1 或 x0＝1，b＝0.故实数 b＝0 或－1. 答案：0 或－1 11．已知曲线 y＝x 3＋x－2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4x－y－1＝0，且点 P0 在第 三象限． (1)求 P0 的坐标； (2)若直线 l⊥l1，且 l 也过切点 P0，求直线 l 的方程． 解：(1)由 y＝x 3＋x－2，得 y′＝3x 2＋1， 由已知令 3x 2＋1＝4，解得 x＝±1. 当 x＝1 时，y＝0；当 x＝－1 时，y＝－4. 又∵点 P0 在第三象限， ∴切点 P0 的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线 l⊥l1，l1 的斜率为 4， ∴直线 l 的斜率为－1 4 . ∵l 过切点 P0，点 P0 的坐标为(－1，－4)， ∴直线 l 的方程为 y＋4＝－ 1 4 (x＋1)， 即 x＋4y＋17＝0. 12．设函数 f(x)＝ax－ b x ，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 7x－4y－12＝0. (1)求 f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y一x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值。7解：（1)方程7x-4y-12=0可化为y=4t-3.b1当x=2时，J=又(x)=a+x22b1(2a-2)[a=1,3于是解得故(x)=xb7xb=3.La+1=4'3+二，知曲线在点P(x0 Jn)处的切线方程为(2)设P(xo，Jo)为曲线上任一点，由y=1+(x-xo)y-yo=(-即y-(xo-)-(1+号))x - x0)令x=0,得y=.6to从而得切线与直线x=0的交点坐标为(o，)令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2xo.2xo），116所以在点P(xoJo）处的切线与直线x=0y=x所围成的三角形的面积为S：-12xo21.Xo1= 6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0，V=x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.B级——综合应用13.（2021·甘肃、青海、宁夏联考）过点M(一1,0)引曲线C：y=2x3十(x十a的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A、B两点，若MA=MB，则a=2f+at+a即43+6t=解析：设切点坐标为(t,2t+at+a)，y=6x+a，6t+a=t+13.=0-2.MA|=MB],：两切线的斜率互为相反数，即2a+6×(0，解得t=0或t=第14页共91页
第 14 页 共 91 页 (2)证明：曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0 和直线 y＝x 所围成的三角形的面 积为定值，并求此定值． 解：(1)方程 7x－4y－12＝0 可化为 y＝ 7 4 x－3. 当 x＝2 时，y＝ 1 2 .又 f′(x)＝a＋ b x 2， 于是 2a－ b 2 ＝ 1 2 ， a＋ b 4 ＝ 7 4 ， 解得 a＝1， b＝3. 故 f(x)＝x－ 3 x . (2)设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y′＝1＋ 3 x 2，知曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 y－y0＝ 1＋ 3 x 2 0 (x－x0)， 即 y－ x0－ 3 x0 ＝ 1＋ 3 x 2 0 (x－x0)． 令 x＝0，得 y＝－ 6 x0 ， 从而得切线与直线 x＝0 的交点坐标为 0，－ 6 x0 . 令 y＝x，得 y＝x＝2x0， 从而得切线与直线 y＝x 的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝ 1 2 － 6 x0 ·|2x0| ＝6. 故曲线 y＝f(x)上任一点处的切线与直线 x＝0，y＝x 所围成的三角形的面积为定值，且 此定值为 6. B 级——综合应用 13．(2021·甘肃、青海、宁夏联考)过点 M(－1,0)引曲线 C：y＝2x 3＋ax＋a 的两条切线， 这两条切线与 y 轴分别交于 A、B 两点，若|MA|＝|MB|，则 a＝ . 解析：设切点坐标为(t,2t 3＋at＋a)，∵y′＝6x 2＋a，∴6t 2＋a＝ 2t 3＋at＋a t＋1 ，即 4t 3＋6t 2＝ 0，解得 t＝0 或 t＝－ 3 2 ，∵|MA|＝|MB|，∴两切线的斜率互为相反数，即 2a＋6× － 3 2 2＝0
解得a= . 274答案：-274若曲线y=(x)存在两条过(1,0)点的切14(2021·江西五校联考）已知函数(x)=x十2x线，则a的取值范围是）则切线方程为-元-（-)1解析:" ()=1-云,设切点坐标为(c 0+(x-x0)，又切线过点(1,0)，所以-x0-22元1-x0)，整理2+2axo-=0又曲2xo线y=f(x)存在两条过(1,0)点的切线，故方程有两个不等实根，即满足4=4a2-8(-a)>0，解得a>0或a<-2.答案：(—8，—2)U(0，+00)15.已知函数(x)=ax+3x2—6ax-11，g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9，且f (-1)=0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y=f(x)的切线，又是曲线y=g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由，解：(1)由已知得f"(g)=3ax+6x-6a，因为（-1)=0，所以3a-6-6a=0，所以a=-2.(2)存在.由已知得，直线m恒过定点(0,9），若直线m是曲线y=g(x)的切线，则设切点为(xo,3x + 6xo + 12) .因为g(xo)=6xo+6,所以切线方程为y-(3x+6xo+12)=(6xo+6)(x-xo），将(0,9)代入切线方程，解得xo=±1.当xo=-1时，切线方程为y=9；当xo=1时，切线方程为y=12x+9由(1)知,(x)= -2x3 + 3x2 + 12x - 11 ,由f(x)=0得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.第15页共91页
第 15 页 共 91 页 解得 a＝－ 27 4 . 答案：－ 27 4 14．(2021·江西五校联考)已知函数 f(x)＝x＋ a 2x ，若曲线 y＝f(x)存在两条过(1,0)点的切 线，则 a 的取值范围是 ． 解析：f′(x)＝1－ a 2x 2，设切点坐标为 x0，x0＋ a 2x0 ，则切线方程为 y－x0－ a 2x0 ＝ 1－ a 2x 2 0 (x－x0)，又切线过点(1,0)，所以－x0－ a 2x0 ＝ 1－ a 2x 2 0 (1－x0)，整理得 2x 2 0＋2ax0－a＝0，又曲 线 y＝f(x)存在两条过(1,0)点的切线，故方程有两个不等实根，即满足 Δ＝4a 2－8(－a)＞0， 解得 a＞0 或 a＜－2. 答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞) 15．已知函数 f(x)＝ax3＋3x 2－6ax－11，g(x)＝3x 2＋6x＋12 和直线 m：y＝kx＋9，且 f′(－1)＝0. (1)求 a 的值； (2)是否存在 k，使直线 m 既是曲线 y＝f(x)的切线，又是曲线 y＝g(x)的切线？如果存 在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由． 解：(1)由已知得 f′(x)＝3ax2＋6x－6a， 因为 f′(－1)＝0，所以 3a－6－6a＝0，所以 a＝－2. (2)存在．由已知得，直线 m 恒过定点(0,9)，若直线 m 是曲线 y＝g(x)的切线，则设切点 为(x0,3x 2 0＋6x0＋12)． 因为 g′(x0)＝6x0＋6， 所以切线方程为 y－(3x 2 0＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)， 将(0,9)代入切线方程，解得 x0＝±1. 当 x0＝－1 时，切线方程为 y＝9； 当 x0＝1 时，切线方程为 y＝12x＋9. 由(1)知 f(x)＝－2x 3＋3x 2＋12x－11， ①由 f′(x)＝0 得－6x 2＋6x＋12＝0， 解得 x＝－1 或 x＝2