在x=-1处，J=f(x)的切线方程为y=-18；在x=2处，J=f(x)的切线方程为y=9所以y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9.②由(g)=12得-6x+6x+12=12，解得x=0或x=1.在x=0处，=f(x)的切线方程为y=12x-11;在x=1处，J=f(x)的切线方程为y=12x-10，所以y=f(x)与y=g(x)的公切线不是y=12x+9.综上所述，y=(x)与y=g(x)的公切线是y=9，此时k=0.第二节导数的应用[备考领航]课程标准解读关联考点核心素养1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间.1.逻辑推1.导数与函数的2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件理.单调性.和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以2.直观想2.导数与函数的及在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最象，极值、最值3.数学运算小值；体会导数与单调性、极值、最大(小）值的关系3.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化间题，体会导数在解决实际问题中的作用第一课时导数与函数的单调性知识逐点夯实重点准逐点清结论要牢记课前自修【重点准·逐点清]重点函数的单调性与导数的关系第16页共91页
第 16 页 共 91 页 在 x＝－1 处，y＝f(x)的切线方程为 y＝－18； 在 x＝2 处，y＝f(x)的切线方程为 y＝9， 所以 y＝f(x)与 y＝g(x)的公切线是 y＝9. ②由 f′(x)＝12 得－6x 2＋6x＋12＝12， 解得 x＝0 或 x＝1. 在 x＝0 处，y＝f(x)的切线方程为 y＝12x－11； 在 x＝1 处，y＝f(x)的切线方程为 y＝12x－10， 所以 y＝f(x)与 y＝g(x)的公切线不是 y＝12x＋9. 综上所述，y＝f(x)与 y＝g(x)的公切线是 y＝9，此时 k＝0. 第二节 导数的应用 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关 系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能 求不超过三次的多项式函数的单调区间． 2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件 和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以 及在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最 小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系． 3.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体 会导数在解决实际问题中的作用 1.导数与函数的 单调性． 2.导数与函数的 极值、最值 1.逻辑推 理． 2.直观想 象． 3.数学运算 第一课时 导数与函数的单调性 [重点准·逐点清] 重点 函数的单调性与导数的关系
函数y=f(x)在区间(a，b)内可导，则：(1)若(x)>0，则(x)在区间(a，b)内是单调递增函数：(2)若(x)<0，则(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；(3)若恒有L()=0，则J(x)在区间(a，b)内是常数函数。【提醒】讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.[逐点清]1.（选修2-2第26贡练习1题改编）函数f(x)=cosx一x在(0，元)上的单调性是(A.先增后减B.先减后增C. 增函数D.减函数解析：选D因为(μ)=-sinx-1<0,所以(x)在(0，元)上是减函数，故选D.2.（多选）如图是函数y=(x)的导函数y=(x)的图象，则下列判断正确的是(（)3y='G)343:/-2A。在区间(一2,1)上f(x)单调递增B.在区间(2,3)上,(x)单调递减C。在区间(4,5)上(x)单调递增D。在区间(3,5)上,(x)单调递减解析：选BC 在区间(-2,1)上,当xe(-2,-)时,F" (m)<0,当xe(-2,1)时 (g)>0 ,故(x)在(-2, -)上单调递减,在(-2, )上单调递增,A错误;在区间(3,5)上,当xE(3,4)时，f(x)<0，当xE(4,5)时，f(x)>0，即f(x)在(3,4)上单调递减，在(4,5)上单调递增，D错误.在(4,5)上"(x)>0恒成立，J(x)单调递增.在(2,3)上了(x)<0恒成立，J)单调递减，故B、C正确.3. (昌错题)函数,f(x)=x-Inx 的单调递减区间为解析：函数的定义域是(0, +8),且 ()=1-1-,一,令了(m)<0,得0<<1,故J(x)的单调递减区间为(0,1)答案：(0,1)第17页共91页
第 17 页 共 91 页 函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则： (1)若 f′(x)>0，则 f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数； (2)若 f′(x)<0，则 f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数； (3)若恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在区间(a，b)内是常数函数． [提醒] 讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持 “定义域优先”原则． [逐点清] 1．(选修 2－2 第 26 页练习 1 题改编)函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π)上的单调性是( ) A．先增后减 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 解析：选 D 因为 f′(x)＝－sin x－1＜0， 所以 f(x)在(0，π)上是减函数，故选 D. 2．(多选)如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( ) A．在区间(－2,1)上 f(x)单调递增 B．在区间(2,3)上 f(x)单调递减 C．在区间(4,5)上 f(x)单调递增 D．在区间(3,5)上 f(x)单调递减 解析：选 BC 在区间(－2,1)上，当 x∈ － 2，－ 3 2 时，f′(x)<0，当 x∈ － 3 2 ，1 时， f′(x)>0，故 f(x)在 － 2，－ 3 2 上单调递减，在 － 3 2 ，1 上单调递增，A 错误；在区间(3,5)上， 当 x∈(3,4)时，f′(x)<0，当 x∈(4,5)时，f′(x)>0，即 f(x)在(3,4)上单调递减，在(4,5)上单调 递增，D 错误．在(4,5)上 f′(x)>0 恒成立，∴f(x)单调递增．在(2,3)上 f′(x)<0 恒成立，f(x) 单调递减，故 B、C 正确． 3．(易错题)函数 f(x)＝x－ln x 的单调递减区间为 ． 解析：函数的定义域是(0，＋∞)，且 f′(x)＝1－ 1 x ＝ x－1 x ，令 f′(x)<0，得 0<x<1，故 f(x)的单调递减区间为(0,1)． 答案：(0,1)
[记结论提速度][记结论]1.在某区间内(x)>0(f(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减）函数的充要条件是对VxE(a，b)，都有F(x)≥0(()≤0)且(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零[提速度]已知f(x)=x3一ax在[1，+)上是增函数，则a的最大值是解析：f(x)=3x2-a≥0,即a≤3x,又xE[1，+），a≤3，即a的最大值是3答案：3考点分类突破理解透规律明变化究其本课堂讲练号点一1不含参数的函数的单调性[基础自学过关][题组练透]1.下列函数中，在(0，十8)上为增函数的是（B. (x)=xerA, f(x)= sin 2xC. f(x)=x3-xD.f(x)=-x+Inx解析: 选B 对于A,1g)=sin 2x的单调递增区间是[kn-号, +元(kEZ)：对于B二厂(μ)=e(x+1)，当xE(0，+)时,f(x)>0，函数(x)=xer在(0，+0)上为增函数;.V3.或.8..K涵数)=-x在对于 C F(x)=3x2-1 ,令 (x)>0 ,得x>x-1N31+80上单调递增；对于D,F(x)=-1+，令(x)>0，得0<<1，.函(31xx数f(x)=-x+Inx在区间（0,1)上单调递增故选B3+2lnx的单调递减区间是(2.函数(x)=x-)X第18页共91页
第 18 页 共 91 页 [记结论·提速度] [记结论] 1．在某区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条 件． 2． 可 导函数 f(x) 在(a，b) 上是增( 减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且 f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． [提速度] 已知 f(x)＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则 a 的最大值是 ． 解析：f′(x)＝3x 2－a≥0，即 a≤3x 2， 又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即 a 的最大值是 3. 答案：3 不含参数的函数的单调性 [基础自学过关] [题组练透] 1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．f(x)＝sin 2x B．f(x)＝xe x C．f(x)＝x 3－x D．f(x)＝－x＋ln x 解析：选 B 对于 A，f(x)＝sin 2x 的单调递增区间是 kπ－ π 4 ，kπ＋ π 4 (k∈Z)；对于 B， f′(x)＝e x (x＋1)，当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数 f(x)＝xe x 在(0，＋∞)上为增函数； 对于 C，f′(x)＝3x 2－1，令 f′(x)>0，得 x> 3 3 或 x<－ 3 3 ，∴函数 f(x)＝x 3－x 在 －∞，－ 3 3 和 3 3 ，＋∞ 上单调递增；对于 D，f′(x)＝－1＋ 1 x ＝－ x－1 x ，令 f′(x)>0，得 0<x<1，∴函 数 f(x)＝－x＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．故选 B. 2．函数 f(x)＝x＋ 3 x ＋2ln x 的单调递减区间是( )
B. (0,1)A. (-3,1)D. (0,3)C. (-1,3)32解析：选B 法一: 令F (x)=1 -<0(x>0），得0<x<1，故所求函数的单调递xx减区间为（0,1）.故选B.法二：由题意知x>0，故排除A、C选项：又(1)=4<(2)=+2In2，故排除D选2项故选B.3．已知定义在区间(一元，)上的函数fx)=xsinx十cosx，则Jx)的单调递增区间是解析 :f (x)=sinx+xcosx- sinx=xcosx.令f()=xcosx>0,xE(-元,元),解得-<-或 0<-)和(o.即函数x)的单调递增区间是(元，答案： (一元，一)和(0. 2)[练后悟通]利用导数求函数单调区间的3种方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式(x)>0或f(x)<0求出单调区间；(2)当方程r(x)=0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分成若干个区间，确定各区间厂（x)的符号，从而确定单调区间；(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据(x)的结构特征，利用其图象与性质确定f（x)的符号，从而确定单调区间.考点二含参数的函数的单调性[师生共研过关][例1]已知函数(x)=a(x—2lnx)-+2x，讨论f(x)的单调性.[解] " (g) =aX+2:(x - 2)(a - x)(x >0) .当a≤0时,a-x<0,则xE(0,2)时,F(g)>0,f(x)单调递增;xE(2,+0)时(g)第19页共91页
第 19 页 共 91 页 A．(－3,1) B．(0,1) C．(－1,3) D．(0,3) 解析：选 B 法一：令 f′(x)＝1－ 3 x 2＋ 2 x ＜0(x＞0)，得 0＜x＜1，故所求函数的单调递 减区间为(0,1)．故选 B. 法二：由题意知 x＞0，故排除 A、C 选项；又 f(1)＝4＜f(2)＝ 7 2 ＋2ln 2，故排除 D 选 项．故选 B. 3．已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f(x)的单调递增区间 是 ． 解析：f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x. 令 f′(x)＝xcos x>0，x∈(－π，π)， 解得－π<x<－ π 2 或 0<x< π 2 ， 即函数 f(x)的单调递增区间是 － π，－ π 2 和 0， π 2 . 答案： － π，－ π 2 和 0， π 2 [练后悟通] 利用导数求函数单调区间的 3 种方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 求出单调区间； (2)当方程 f′(x)＝0 可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分成若干个区 间，确定各区间 f′(x)的符号，从而确定单调区间； (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据 f′(x)的结构特征，利用其图象与性质确定 f′(x)的符号，从而确定单调区间． 含参数的函数的单调性 [师生共研过关] [例 1] 已知函数 f(x)＝a(x－2ln x)－ 1 2 x 2＋2x，讨论 f(x)的单调性． [解] f′(x)＝a 1－ 2 x －x＋2＝ 1 x (x－2)(a－x)(x＞0)． ①当 a≤0 时，a－x＜0，则 x∈(0,2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(2，＋∞)时，f′(x)
<0f(x)单调递减；?当0<a<2时，令(x)=0=x=2或x=a,则xE(0，a)时,(μ)<0,Jx)单调递减;xE(a,2)时, ()>0,Jx)单调递增;xE(2，+0)时,F(x)<0,f(x)单调递减;?当a=2时,(m)=-(x-2)≤0 , f(x)在(0 ,+ c0)上单调递减;④当a>2时，令()=0=x=2或x=a，则xE(0,2)时,(x)<0,fx)单调递减；xE(2，a)时,()>0,f(x)单调递增;xE(a，+0)时,"(μ)<0,x)单调递减[解题技法]含参函数单调性的求法此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题.对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先考虑二次三项式是否存在零点，这里涉及对判别式4≤0和4>0分类讨论，即“有无实根判别定，两种情形需知晓”：(2)如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，逻辑分类有两种情况，需要考虑首项系数是否含有参数.如果首项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论；如果首项系数无参数，只需讨论两个根x1，x2的大小，即“首项系数含参数，先论系数零正负；首项系数无参数，根的大小定胜负”；(3)注意：讨论两个根x1，x2的大小时，一定要结合函数定义域进行讨论，考虑两根是否在定义域中，即“定义域，紧跟踪，两根是否在其中”：[跟踪训练]x+mx+1(m≥0)，其中e为自然对数的底数，讨论函(2021·四安质检）已知函数f(x）=er数(x)的单调性.x2+(m - 2)x+1 - m解：由题得" (g)=.= r-(1- m)Icr-1)et第20页共91页
第 20 页 共 91 页 ＜0，f(x)单调递减； ②当 0＜a＜2 时，令 f′(x)＝0⇒x＝2 或 x＝a，则 x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递 减；x∈(a,2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； ③当 a＝2 时，f′(x)＝－ 1 x (x－2)2≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ④当 a＞2 时，令 f′(x)＝0⇒x＝2 或 x＝a，则 x∈(0,2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； x∈(2，a)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(a，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． [解题技法] 含参函数单调性的求法 此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问 题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路： (1)首先考虑二次三项式是否存在零点，这里涉及对判别式 Δ≤0 和 Δ>0 分类讨论，即 “有无实根判别定，两种情形需知晓”； (2)如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，逻辑分类有两种情况，需要考虑首项 系数是否含有参数．如果首项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论；如果 首项系数无参数，只需讨论两个根 x1，x2 的大小，即“首项系数含参数，先论系数零正负； 首项系数无参数，根的大小定胜负”； (3)注意：讨论两个根 x1，x2 的大小时，一定要结合函数定义域进行讨论，考虑两根是否 在定义域中，即“定义域，紧跟踪，两根是否在其中”． [跟踪训练] (2021·西安质检)已知函数 f(x)＝ x 2＋mx＋1 e x (m≥0)，其中 e 为自然对数的底数，讨论函 数 f(x)的单调性． 解：由题得 f′(x)＝－ x 2＋(m－2)x＋1－m e x ＝－ [x－(1－m)](x－1) e x