导数运算的原则和方法(1)基本原则：先化简、再求导；(2)具体方法①—连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导根式形式：先化为分数指数霉的形式，再求导2F③复杂的分式：先将分式化筒再求导对数形式：先化为和或差的形式（注意保证定义域4（不改变），再求导③三角形式：先利用三角函数公式化简，再求导【提醒】当函数解析式中含有待定系数（例如（xo），(，b等），求导时把待定系数看成常数，再根据题意求出即可，1考点导数的几何意义[定向精析突破]考向1求曲线的切线方程为奇函数(其中e是自然对数的底[例1](1)(2021·广州术调研检测)已知(x)=数)，则曲线y=(x)在x=0处的切线方程为(2)已知函数f(x)=xlnx，若直线/过点(0，一1)，并且与曲线y=(x)相切，则直线/的方程为[解析】 (1):(x)为奇函数，(-1)+(1)=0,即e+=-1-ae=0，解得a=1,f(x)=e+).f ()=(..曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率为2，又(0)=0，：曲线y=f(x)在x=0处的切线的方程为2x-y=0.(2)：点(0，-1)不在曲线(x)=xlnx上，.设切点为(xo，Jo）第6页共91页
第 6 页 共 91 页 导数运算的原则和方法 (1)基本原则：先化简、再求导； (2)具体方法 [提醒] 当函数解析式中含有待定系数(例如 f′(x0)，a，b 等)，求导时把待定系数看成 常数，再根据题意求出即可． 导数的几何意义 [定向精析突破] 考向 1 求曲线的切线方程 [例 1] (1)(2021·广州市调研检测)已知 f(x)＝x e x＋ a e x 为奇函数(其中 e是自然对数的底 数)，则曲线 y＝f(x)在 x＝0 处的切线方程为 ； (2)已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y＝f(x)相切，则直线 l 的 方程为 ． [解析] (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＋f(1)＝0，即 e＋ a e － 1 e －ae＝0，解得 a＝1，f(x)＝ x e x＋ 1 e x ， ∴f′(x)＝ e x＋ 1 e x ＋x e x－ 1 e x ， ∴曲线 y＝f(x)在 x＝0 处的切线的斜率为 2，又 f(0)＝0， ∴曲线 y＝f(x)在 x＝0 处的切线的方程为 2x－y＝0. (2)∵点(0，－1)不在曲线 f(x)＝xln x 上， ∴设切点为(x0，y0)．
又f ()=1+Inx,直线/的方程为y+1=(1+lnxo)x[yo = xoln X ,由vo +1=(1+ In 0)xo ,解得xo=1，Jo=0：直线/的方程为y=x-1，即x-y-1=0.[答案】(1)2x-y=0(2)x-y-1=0[解题技法]求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y=f(x)在点x=xe处的导数即曲线y=f(x)在点P(xo/(xo)处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为y-f(xo)=f(xo)(x-xo）[提醒】“过"与“在”：曲线y=(x)"在点P(xo，yo)处的切线"与“过点P(xo，Jo)的切线”的区别：前者P(xo，Jo)为切点，而后者P(xo，yo)不一定为切点。考向2求切点坐标[例2](2021·贵阳模拟)设函数(x)=x3+(a—1)x+ax，若f(x)为奇函数，且函数y-(x)在点P(co，f(xo))处的切线与直线x+y=0垂直，则切点P(xo，f(xo)的坐标为[解析](x)=x3 +(a -1)x2 +ax ,f (x)=3x2 + 2(a - 1)x+ a.又(x)为奇函数，(-x)=-J(x)恒成立,即-x+(a-1)x-ax=-x-(a-1)x-ax恒成立,..a=1, f (x)= 3x2 +1,3x6 +1=1, x0=0,J(xo)= 0,.切点P(xo，(xo)的坐标为(0,0).[答案］(0,0)[解题技法]第7页共91页
第 7 页 共 91 页 又∵f′(x)＝1＋ln x， ∴直线 l 的方程为 y＋1＝(1＋ln x0)x. ∴由 y0＝x0ln x0， y0＋1＝(1＋ln x0)x0， 解得 x0＝1，y0＝0. ∴直线 l 的方程为 y＝x－1， 即 x－y－1＝0. [答案] (1)2x－y＝0 (2)x－y－1＝0 [解题技法] 求曲线切线方程的步骤 (1)求出函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数，即曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处切线的斜率； (2)由点斜式方程求得切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． [提醒] “过”与“在”：曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线” 的区别：前者 P(x0，y0)为切点，而后者 P(x0，y0)不一定为切点． 考向 2 求切点坐标 [例 2] (2021·贵阳模拟)设函数 f(x)＝x 3＋(a－1)·x 2＋ax，若 f(x)为奇函数，且函数 y＝ f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与直线 x＋y＝0 垂直，则切点 P(x0，f(x0))的坐标为 ． [解析] ∵f(x)＝x 3＋(a－1)x 2＋ax， ∴f′(x)＝3x 2＋2(a－1)x＋a. 又 f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)恒成立， 即－x 3＋(a－1)x 2－ax＝－x 3－(a－1)x 2－ax 恒成立， ∴a＝1，f′(x)＝3x 2＋1,3x 2 0＋1＝1，x0＝0，f(x0)＝0， ∴切点 P(x0，f(x0))的坐标为(0,0)． [答案] (0,0) [解题技法]
已知切线方程（或斜率）求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标。考向3由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)[例3](1)(2021·并封布模拟考试)曲线 y=(ax+1)er在点(0,1)处的切线与 x轴交于点1 0), 则a=——:(2)函数f(x)=lnx十ax的图象存在与直线2xy=0平行的切线，则实数a的取值范围是[解析】(1)y’=e(ax+1+a)，所以y'k=o=1+a，则曲线y=(ax+1)e在(0,1)处的切线方程为 y=(1+a)x+1,又切线与×轴的交点为(-1, 0),所以 0=(1+a)×(-2)+1,解得a=1.(2)由题意知F(x)=2在(0，+8)上有解1所以" (冈):+a=2在(0，+)上有解，x因为x>0，所以2-则a=2-<2，所以a的取值范围是（-°，2).[答案] (1)1 (2)(一°，2)【解题技法]1.利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围，2.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上：考向4两曲线的公切线问题[例4]已知曲线(x)=x3+ax+在x=0处的切线与曲线g(t)=一lnx相切，则a的值为第8页共91页
第 8 页 共 91 页 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率， 从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标． 考向 3 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围) [例 3] (1)(2021·开封市模拟考试)曲线 y＝(ax＋1)ex 在点(0,1)处的切线与 x 轴交于点 － 1 2 ，0 ，则 a＝ ； (2)函数 f(x)＝ln x＋ax 的图象存在与直线 2x－y＝0 平行的切线，则实数 a 的取值范围 是 ． [解析] (1)y′＝e x (ax＋1＋a)，所以 y′|x＝0＝1＋a，则曲线 y＝(ax＋1)ex 在(0,1)处的切 线方程为 y＝(1＋a)x＋1，又切线与 x 轴的交点为 － 1 2 ，0 ，所以 0＝(1＋a)× － 1 2 ＋1，解 得 a＝1. (2)由题意知 f′(x)＝2 在(0，＋∞)上有解． 所以 f′(x)＝ 1 x ＋a＝2 在(0，＋∞)上有解， 则 a＝2－ 1 x .因为 x＞0，所以 2－ 1 x ＜2，所以 a 的取值范围是(－∞，2)． [答案] (1)1 (2)(－∞，2) [解题技法] 1．利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的 不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 考向 4 两曲线的公切线问题 [例 4] 已知曲线 f(x)＝x 3＋ax＋ 1 4 在 x＝0 处的切线与曲线 g(x)＝－ln x 相切，则 a 的值 为 ．
[解析]由,(x)=x+ax+，得f(x)=3x2+a.1-f (0)=a, 0)=÷.：曲线y=(x)在x=0处的切线方程为y-4=ax.-Y=ax与曲线g(x)=-Inx相切于点(xo，-Inxo)，又：g(t)=设直线y4r1@-In.xo=axo,41?a=o3将代入得Inxo431-e4o=e41..0=33e4[答案] —e【解题技法]解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线/在y=(x)上的切点Pi(x1,f(xi),在y=g(x)上的切点P2(x2,g(0), 则F (n)=g* (m))二8)X1X2[跟踪训练]1.曲线(x)=x+lnx在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(OB.3A. 2211c. 2D.4解析：选DF(x)=1+，则g()=2，故曲线(x)=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，-1)，(,0).则v1_1切线与坐标轴围成的三角形的面积为，×1X*2-4，故选D.2.(2020·全国卷I）曲线y=lnx十x十1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程第9页共91页
第 9 页 共 91 页 [解析] 由 f(x)＝x 3＋ax＋ 1 4 ，得 f′(x)＝3x 2＋a. ∵f′(0)＝a，f(0)＝ 1 4 ， ∴曲线 y＝f(x)在 x＝0 处的切线方程为 y－ 1 4 ＝ax. 设直线 y－ 1 4 ＝ax 与曲线 g(x)＝－ln x 相切于点(x0，－ln x0)，又∵g′(x)＝－ 1 x ， ∴ －ln x0－ 1 4 ＝ax0， ① a＝－ 1 x0 ， ② 将②代入①得 ln x0＝ 3 4 ， ∴x0＝e 3 4 ，∴a＝－ 1 e 3 4 ＝－e − 3 4 . [答案] －e − 3 4 [解题技法] 解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切， 列出关系式求解；二是设公切线 l在 y＝f(x)上的切点 P1(x1，f(x1))，在 y＝g(x)上的切点 P2(x2， g(x2))，则 f′(x1)＝g′(x2)＝ f(x1)－g(x2) x1－x2 . [跟踪训练] 1．曲线 f(x)＝x＋ln x 在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( ) A．2 B． 3 2 C． 1 2 D． 1 4 解析：选 D f′(x)＝1＋ 1 x ，则 f′(1)＝2，故曲线 f(x)＝x＋ln x 在点(1,1)处的切线方程 为 y－1＝2(x－1)，即 y＝2x－1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)， 1 2 ，0 ，则 切线与坐标轴围成的三角形的面积为1 2 ×1× 1 2 ＝ 1 4 ，故选 D. 2．(2020·全国卷Ⅰ)曲线 y＝ln x＋x＋1 的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程
为1解析：设切点坐标为(xo，In.xo+xo+1）.由题意得y+1，则该切线的斜率k=xxo1=2，解得xo=1，所以切点坐标为(1,2)，所以该切线的方程为y-2=2(x-1)，即y=2x.答案：y=2x3。(2021·开射术第一次模拟考试)设函数f(x)=alnx十bx3的图象在点(1，一1)处的切线经过点(0,1)，则a十b的值为[(1) = -1,[b= -1,"+3bx2，于是有解析：依题意得F(α)=即解得1+1[a+3b=-2,f(1)=0-1[a=1所以a+b=0b=-1答案：0[课时过关检测]A级一一基础达标1.曲线y=ex-lnx在点(1，e)处的切线方程为（）A.(1-e)x-y+1=0B, (1-e)x-y-1=0C. (e-1)x-y+1=0D. (e-1)x-y-1=0解析：选C由于y=e-！，所以v=1=e-1，故曲线y=er-lnx在点(1，e）处的x切线方程为y-e=(e-1)(x-1)，即(e-1)x-y+1=0.2.已知函数(x)的导函数为(x)，且满足关系式(x)=x+3x(2)+lnx，则F(2)的值等于(）A. -2B. 2D. ?c. -244解析：选C因为(x)=x2+3xf(2)+Inx，所以(x)=2x+3f(2)+，所以(2)91,解得 (2)==2X2+3fl(2)+2.4第10页共91页
第 10 页 共 91 页 为 ． 解析：设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)．由题意得 y′＝ 1 x ＋1，则该切线的斜率 k＝ 1 x0 ＋ 1＝2，解得 x0＝1，所以切点坐标为(1,2)，所以该切线的方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x. 答案：y＝2x 3．(2021·开封市第一次模拟考试)设函数 f(x)＝aln x＋bx3 的图象在点(1，－1)处的切线 经过点(0,1)，则 a＋b 的值为 ． 解析：依题意得 f′(x)＝ a x ＋3bx2，于是有 f(1)＝－1， f′(1)＝ 1＋1 0－1 ， 即 b＝－1， a＋3b＝－2， 解得 a＝1， b＝－1， 所以 a＋b＝0. 答案：0 [课时过关检测] A 级——基础达标 1．曲线 y＝ex－ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0 C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0 解析：选 C 由于 y′＝e－ 1 x ，所以 y′|x＝1＝e－1，故曲线 y＝ex－ln x 在点(1，e)处的 切线方程为 y－e＝(e－1)·(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0. 2．已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足关系式 f(x)＝x 2＋3xf′(2)＋ln x，则 f′(2) 的值等于( ) A．－2 B．2 C．－ 9 4 D． 9 4 解析：选 C 因为 f(x)＝x 2＋3xf′(2)＋ln x，所以 f′(x)＝2x＋3f′(2)＋ 1 x ，所以 f′(2) ＝2×2＋3f′(2)＋ 1 2 ，解得 f′(2)＝－ 9 4