利用对角矩阵计算矩阵多项式 若A=PBP,则 k个 APBP- PBP-… PBP-PBPPB'p A的多项式 P(A)=aoA"+aiA+.+am-A+anE =aPB"P1+a1PBn-P1+… +am-Pbp-+a, pep P(aob+arb+.+an-B+aneP PP(B)P
利用对角矩阵计算矩阵多项式 , 1 A PB P − 若 = a PB P a PE P a P B P a P B P n n n n 1 1 1 1 1 1 1 0 − − − − − − + + = + + A = k A的多项式 A a A a A an A anE n n = + + + − + − 1 1 0 1 ( ) ( ) . 1 P B P− = . 1 P B Pk − = 则 P a B a B an B anE P n n 1 1 1 0 1 ( ) − − − = + ++ + PB P − 1 PBP−1 PBP−1 PBP−1 k个
特别地,若可逆矩阵P使PAP=A为对角矩阵, WU A=PAP-, (A)=P(A)P 对于对角矩阵,有 A 利用上 述结论可以 ) 很方便地计 算矩阵A的 q(2) q(A)= 多项式p(A 0(
, , 特别地 若可逆矩阵P使P −1 AP = 为对角矩阵 , 1 A P P k k − 则 = ( ) ( ) . 1 A P P − = 对于对角矩阵,有 , 2 1 = k n k k k , ( ) ( ) ( ) ( ) = n 2 1 利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 . (A)
定理设f(4)是矩阵4的特征多项式则f(A)=O. 证明只证明4与对角矩阵相似的情形 若A与对角矩阵相似,则有可逆矩阵P,使 PAP=A=dig(a1,…,n), 其中礼为A的特征值,f()=0.由A=PNP,有 f(a1) f(A)=Pf(A)P-l=Pl P ∫(4n POP=O
定理 设f ()是矩阵A的特征多项式,则f (A) = O. 证明 只证明A与对角矩阵相似的情形. 若A与对角矩阵相似,则有可逆矩阵P,使 ( , , ), 1 1 P AP = = diag n − , ( ) = 0. i i 其中 为A的特征值 f 由A = P P −1 ,有 f (A) . 1 = PO P = O − Pf P 1 ( ) − = P f f P n 1 1 ( ) ( ) − =
、利用相似变换将方阵对角化 对n阶方阵A,若可找到可逆矩阵P,使 P+1AP=A为对角阵,这就称为把方阵A对角化 定理2n阶矩阵4与对角矩阵相似即4能对角化 的充分必要条件是4有n个线性无关的特征向量 证明假设存在可逆陴,使PAP=A为对角阵 把P用其列向量表示为P=(1,P2,…,Pn)
, . , , 1 为对角阵 这就称为把方阵 对角化 对 阶方阵 若可找到可逆矩阵 使 P AP A n A P = − 证明 , , 假设存在可逆阵P 使P −1AP = 为对角阵 ( , , , ) . 把 P 用其列向量表示为P = p1 p2 pn 三、利用相似变换将方阵对角化 . 2 ( ) 的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量 定 理 阶矩阵 与对角矩阵相似即 能对角化 A n n A A