■同构:设g1和g2是两个李代数,如果存在一个从g1 到g2的一一对应的满映射P,且对任意a,b∈K和 ⅹ,Y∈g满足 P(ax +br=aP(X)+bP(r) [Xy]=z∈81→P(Z)=[P(X,P(Y) 则称李代数g1和g2同构 ■同态:设g1和g2是两个李代数,如果存在一个从g1 到g2的满映射P,且对任意a,b∈K和x,Y∈g满足 P(ax +br=aP(X)+bP(r [X,y]=z∈81→P(Z)=[P(X),P() 则称李代数g1和g2同态
1 ( ) ( ) ( ) , ( ), ( ) P aX bY aP X bP Y X Y Z g P Z P X P Y ■ 同构: 设g1和g2是两个李代数, 如果存在一个从g1 到g2的一一对应的满映射P, 且对任意a,b∈K和 X,Y∈g 满足 则称李代数g1和g2同态. ■ 同态: 设g1和g2是两个李代数, 如果存在一个从g1 到g2的满映射P, 且对任意a,b∈K和X,Y∈g 满足 1 ( ) ( ) ( ) , ( ), ( ) P aX bY aP X bP Y X Y Z g P Z P X P Y 则称李代数g1和g2同构
■单纯李代数:如果李代数g不具有非平庸理想,则 称g为单纯李代数,或单李代数 ■半单李代数:如果李代数g不具有非平庸可交换 理想,则称g为半单李代数 ■半单李代数的判据 判据1李代数g是半单李代数的充要条件为:g可 以写作其理想的直和,即 且g均为单李代数
■ 单纯李代数: 如果李代数g不具有非平庸理想, 则 称g为单纯李代数, 或单李代数. ■ 半单李代数: 如果李代数g不具有非平庸可交换 理想, 则称g为半单李代数. i i g g ■ 半单李代数的判据: 判据1 李代数g是半单李代数的充要条件为: g可 以写作其理想的直和, 即 且gi均为单李代数
李代数的内导子:李代数g上的内导子是李代数g上 的线性变换,设X∈g,则内导子ad(X)定义为 ad(XZ=[X VZ∈g 李代数的基林型(基林度规张量):定义为下述对称 张量 gaa i g 其中G是李代数g关于基矢X,X2…,Xn的结构常数,即 ap2-元 半单李代数的嘉当判据:李代数g为半单李代数的 充要条件是: de(gn,)≠0 即基林度规张量不退化存在逆张量g"gn=6
李代数的内导子: 李代数g上的内导子是李代数g上 的线性变换, 设X∈g, 则内导子ad(X)定义为 半单李代数的嘉当判据: 李代数g为半单李代数的 充要条件是: ad(X )Z [X , Z], Z g 李代数的基林型(基林度规张量): 定义为下述对称 张量 g g C C 其中 C 是李代数g关于基矢 X1 , X2 , …, Xn 的结构常数, 即 [X , X ] C X det(g ) 0 即基林度规张量不退化, 存在逆张量 g g
李代数的卡塞米尔算子 设X1X2…X是半单李代数g的一组基矢冠 C=g"X。X2 C称为g的卡塞米尔算子 半单李代数g的卡塞米尔算子C与g的所有元素可 对易 推广的卡塞米尔算子: Ⅰ=ChnC
李代数的卡塞米尔算子: 设 1 2 , , , 是 半单 李代数 的 一 组基矢,定义 称 为 的 卡塞米 尔算子 . X X Xn g C g X X C g 半单李代数g的卡塞米尔算子C与g的所有元素可 对易. 推广的卡塞米尔算子: 2 3 1 1 1 2 2 i i 1 2 i i I C C C X X X
李代数的内导子与基林度规张量的关系: 设X12X2…,X为李数g的一组基矢内导子ad(X)在 这组基矢下表示为 ad(XX,=lXa, x=cax 则 g g opAr lad(X ad(X,)] 李代数的导出代数--子代数链: 1.a)李代数g的导出链 (1) g 38三 其中g=g,g"=[g")g0],g2=[g",g"]…g=[g,g] b)可解李代数:如果存在一个正整数k,使得 (k-)a(k-) 则g称为可解李代数
李代数的内导子与基林度规张量的关系: 李代数的导出代数-----子代数链: 设 1 2 , ,..., 为李代数 的 一 组基矢,内 导 子 ( )在 这组基矢下表示 为 ( ) [ , ] 则 X X X n g ad X ad X X X X C X g g C C trad(X )ad(X ) (0) (1) (2) g g g 1. a)李代数g的导出链 其 中 (0) (1) (0) (0) (2) (1) (1) ( ) ( 1) ( 1) , , , , , , , , k k k g g g g g g g g g g g b)可解李代数: 如果存在一个正整数 k , 使得 ( ) ( 1) ( 1) , 0 k k k g g g 则g称为可解李代数