目录定积分的概念定积分的性质微积分基本定理不定积分定积分的计算定积分的应用反常积分12
12 目录 2 定积分的性质
定积分运算性质m定理（线性）若 f, g E R[a,b], 则 αf + βg E R[a,b],且 J [αf(x) + βg(x)]dx = α J, f(x)dx + β J g(x)dx。证对区间[a,b]的任意分划，均有Zn-, [αf(3) +βg(5)]Ax; = αEn-,f(3)Ax; +βEn-1g()Axi,通过对分划取极限，令入=max △Axi→0,1<i<n右端极限存在，趋于 αJf(x)dx +βJ。g(x)dx,则左端极限也存在，趋于J[αf(x)+βg(x)]dx。13
13 定积分运算性质 定理（线性） 若 �, � ∈ � �, � ，则 �� + �� ∈ � �, � ， 且 � � �� � + �� � �� = � � � � � �� + � � � � � ��。 证 对区间 �, � 的任意分划，均有 �=� � �� �� + �� �� ��� = � �=� � � �� ��� + � �=� � � �� ���， 通过对分划取极限，令 � = max �≤�≤� ��� → �， 右端极限存在，趋于 � � � � � �� + � � � � � ��， 则左端极限也存在，趋于 � � �� � + �� � ��
定积分运算性质amunT定理（区间可加性）若f E R[a,b],，C E(a,b)，则f E R[a,b],R[c,b];且 J, f(x)dx = J f(x)dx + J f(x)dx。在定积分的定义里，对Jf(x)dx,有a< b,现扩充定义，令 J, f(x)dx=-J,f(x)dx，及 Jf(x)dx = 0,则无论a，b，定积分Jf(x)dx总有意义。对a<b<c，区间可加性仍然成立，有 J f(x)dx = Jcf(x)dx - S, f(x)dx = Jcf(x)dx + Jb f(x)dx。14
14 定积分运算性质 定理（区间可加性） 若 � ∈ � �, � ，� ∈ �, � ，则 � ∈ � �, � ,� �, � ， 且 � � � � �� = � � � � �� + � � � � ��。 在定积分的定义里，对 � � � � ��，有 � < �， 现扩充定义，令 � � � � �� =− � � � � ��，及 � � � � �� = �， 则无论 �，�，定积分 � � � � �� 总有意义。 对 � < � < �，区间可加性仍然成立， 有 � � � � �� = � � � � �� − � � � � �� = � � � � �� + � � � � ��