二、方阵可对角化的条件 对n阶方阵A,若可找到可逆矩阵P,使 P1AP=人为对角阵，这就称为把方阵A对角化. 定理2阶矩阵A与对角矩阵相似即A能对角化 的充分必要条件是4有n个线性无关的特征向量 证明 假设存在可逆阵钯，使P-1AP=为对角阵， 把P用其列向量表示为P=(p1,P2,pn)
, . , , 1 为对角阵 这就称为把方阵 对角化 对 阶方阵 若可找到可逆矩阵 使 P AP A n A P = − 证明 , , 假设存在可逆阵P 使P −1AP = 为对角阵 ( , , , ) . 把 P 用其列向量表示为P = p1 p2 pn . 2 ( ) 的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量 定 理 阶矩阵 与对角矩阵相似即 能对角化 A n n A A 二、方阵可对角化的条件
由P1AP=人，得AP=PA, 即A(p1,P2,pn)=(p1,P2,Pn） 入2 入n =(21P1,22P2,nDn) A(BP2a)=(ApApzApa) =(21P1,2p2,.,pn) 于是有 Ap,=P(i=1,2,.,n)
( ) ( ) = n n n A p p p p p p 2 1 1 2 1 2 即 , , , , , , ( , , , ). = 1 p1 2 p2 n pn ( ) ( ) A p p pn Ap Ap Apn , , , , , , 1 2 = 1 2 Ap p (i 1,2, ,n). 于是有 i = i i = ( ) p p pn , , , = 1 1 2 , , 1 = = − 由P AP 得AP P
可见入：是A的特征值，而P的列向量P:就是 A的对应于特征值2的特征向量. 将上述过程倒推回去，就是充分性的证明 反之，由于A恰好有个特征值，并可对应地求 得n个特征向量，这n个特征向量即可构成矩阵P, 使AP=PA. 又由于P可逆，所以P1,P2,.,pn线性无关 命题得证
. , 的对应于特征值 的特征向量 可见 是 的特征值 而 的列向量 就是 i i i A A P p , , , , . 又由于P可逆 所以p1 p2 pn线性无关 命题得证. . , , , , AP = P n n P A n 使 得 个特征向量 这 个特征向量即可构成矩阵 反之 由于 恰好有 个特征值 并可对应地求 将上述过程倒推回去，就是充分性的证明