其中an=「F(x) cos nzd., F(zsinnzdz. πy-兀 gr ∵Z= F()=f(x) f(x)="+∑( (. cOS x+b, sin- x) 2 n=」 其中an=,f( n几 f∫(x)cos"xdx, b, =f(x)sindo 上或
( cos sin ) 2 ( ) 1 0 x l n x b l n a a f x n n n + = + = ( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = b F z nzdz a F z nzdz n 其中 n ( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = l l n l l n xdx l n f x l b xdx l n f x l 其中 a F(z) f (x) l x z = =
庄定义如果().为奇函数傅氏级数立m 称为正弦级数 如果/(x)为偶函数,傅氏级数+∑a,cx 2 H-=1 称为余弦级数 上或
定义 如果 f (x)为奇函数,傅氏级数 b nx n n sin 1 = 称为正弦级数. 如果 f (x)为偶函数, 傅氏级数 a nx a n n cos 2 1 0 + = 称为余弦级数
生三、典型例题 例1设∫(x)是周期为27的周期函数,它在 -兀,)上的表达式为∫(x)=x,将∫(x)展开成 傅氏级数 解所给函数满足狄利克雷充分条件 王在点x=(2k+1k=0士1+,)处不连续 收敛于f(=0)+(元+0)=x+(-m)0 2 在连续点2k+10处收敛于(x 上或
例 1 设 f (x) 是周期为2 的周期函数,它 在 [−,)上的表达式为 f ( x) = x ,将f (x) 展开成 傅氏级数. 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点x = (2k +1)(k = 0,1,2, )处不连续, 2 f ( − 0) + f (− + 0) 收敛于 2 + (−) = = 0, 在连续点x(x (2k +1))处收敛于f (x), 三、典型例题
x≠(2k+1)m时f(x)是以2π为周期的奇函数, 和函数图象 3-2h-m 元/2兀3 n=0,(n=0,4,2, 上或
− − 3 − 2 − 2 3 x y0 x (2k +1)时 f (x)是以2为周期的奇函数, 和函数图象a = 0, (n = 0,1,2,) n
T b,=o (x)sin ndx=5o'-xsinnxdx 2-x cos/x+ sin/xk ☆Dm=2(-1y,(m=12,) 210 A∫(x)=2(ix-,sin2x+sin3x-…) s2(1)+1 n-=1 (-∞<x<+∞;x≠土π,±3π,) 上圆
= 0 ( )sin 2 bn f x nxdx = 0 sin 2 x nxdx − + = 2 0 ] cos sin [ 2 n nx n x nx = − n n cos 2 ( 1) , 2 +1 = − n n (n = 1,2, ) sin3 ) 3 1 sin2 2 1 f (x) = 2(sin x − x + x − sin . ( 1) 2 1 1 = + − = n n nx n (− x +; x , 3, )