陕西师范大学：《高等代数》课程教学课件（讲稿）第五章 二次型

一、n元二次型1f(x,x2,.,xn)= ax? +2ai2xx2 +...+2ainxxn+a22x2+...+2a2nX,Xn(1)十+a..InnX,称为数域P上的一个n元二次型2二次型的另外两种表示令（1）中ai=aj，l<i<j≤n

称为数域P上的一个n元二次型． 一、n元二次型 1 1 2 2 11 1 12 1 2 1 1 2 22 2 2 2 2 ( , , , ) 2 2 2 n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x          (1) 2 二次型的另外两种表示 令（1）中 ji ij a a  ，1   i j n

2)二次型的双重和符号表示f(xi,X2,.",xn)= ax? +2a2x,x2 +...+2ainxxn2+...+2anx,x,+a2x2++annxnaux' +ai2xx, +...+ainxx+a2xX +a22x +...+a2nxxn+..2+anx,X, +anx,X, +...+annnnXn

1 2 2 11 1 12 1 2 1 1 2 22 2 2 2 2 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 ( , , , ) 2 2 2 n n n n n nn n n n n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x a x a x x a x x a x x a x a x                  2 2 1 1 2 2 n n n n n nn n x a x x a x x a x      2) 二次型的双重和符号表示

f(x,x2,**,x)= ax? +a2xx, +..+anxxn+a2xx, +a2x2...+a2nxxn+.+anx,x +an2x,X,+...+annnnn= x(axi +a2x2 +...+ainxn)+x,(a2ix, +a22x *..+a2nx,)++x,(anx, +an2X, +...+annxn)=x(Z aayx,)+x(2 a2jx,)+...+x,E aamx,j=1j=1i=-Zaa,x,x(2)i=l j=l

1 2 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 ( , , , ) n n n n n n n n n nn n n n n n n n n nn n n n j j j j n j j j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x x a x x a x x                                 （ ） （ ） （ ） = （ ） （ ） （ 1 1 1 n nj j n n ij i j i j a x a x x       ） (2)

主要内容：1.n元二次型1)二次型的定义表示2)二次型的双重和符号表示 (X)=agx,x,i=l j=l

1. n元二次型 主要内容： 1) 二次型的定义表示 2) 二次型的双重和符号表示 ' 1 1 ( ) n n ij i j i j f X a x x    

3）二次型的矩阵表示f(xi,X2,".",xn)= ax +2a2x,x2 +..+2ainxxn2+...+2a2nX,Xn+a22x2+2+a.nn1aux' +ai2xx2 +...+ainxixn+a21XX, +a22x2 +...+a2nX2Xn十2+anxnX, +an2xnX, +...+anXnnn

1 2 2 11 1 12 1 2 1 1 2 22 2 2 2 2 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 ( , , , ) 2 2 2 n n n n n nn n n n n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x a x a x x a x x a x x a x a x                  2 2 1 1 2 2 n n n n n nn n x a x x a x x a x      3）二次型的矩阵表示