第1章控制系统的状态空间表达式 数 元=Ax+'b (1.20) y cx du 并非任意的微分方程或传递函数都能求得其实现 实现的存在条件是m≤n)当m<n 时，式(1.20)中的d=0；而当m=n时，式(1.20)中的d=bn≠0。诚然，在这种情 况下，式(1.19)可写成下面的形式： ）=b.+6-ab.+62a6.s+.+(6。-ab（1.21） s”+a,-15-+.+a15+ao 这意味着输出含有与输人直接关联的项。 应该指出：从传递函数求得的状态空间表达式并不是唯一的。因此，从式(1.18) 或式(1.19)求得的式(1.20)，其中A、b、c、d可以取无穷多种形式，这就是所谓实 现的非唯一性。 尽管实现是非唯一的，但只要原系统传递函数中分子和分母没有公因子，即不出现 零极点对消，则n阶系统必有个独立状态变量，必有n个一阶微分方程与之等效，系统 矩阵A的元素取值虽各有不同，但既为一个系统的实现，其特征根必是相同的。通常把 这种没有零极点对消的传递函数的实现称之为最小实现。本节仅讨论最小实现问题 1.4.1传递函数中没有零点时的实现 在这种情况下，系统的微分方程为： y+a-ya-”+.+ay+aoy=bnu(g) (1.22) 相应的系统传递函数为 b。 W(s）=。+a,+.+as+a0 (1.23) 如前述，上式的实现，可以有多种结构，常用的简便形式可由相应的模拟结构图 (图1.13)导出。这种由中间变量到输人端的负反馈，是一种常见的结构形式，也是一种 最易求得的结构形式。 团平团A的y n-1L dn-2 回 图1.13系统模拟结构图 2
鉴 现代控制理论 将图中每个积分器的输出取作状态变量，有时称为相变量，它是输出y(或y/)的 各阶导数。至于每个积分器的输入，显然就是各状态变量的导数。 从图1.13，容易列出系统的状态方程 x1=x2 1=药 元1=x 。=-a0x1-a1名-.-a-2xl-a-lx。+u 输出方程为： y=b。x 表示成矩阵形式，则为 0 0 01x 0 0 1. 0 a- 00. (1.24) -a2 A y= (b。,0·0,.,0) 顺便指出，当A矩阵具有式(1,24)的形式时，称为友矩阵，友矩阵的特点是主对 角线上方的元素均为1；最后一行的元素可取任意值；而其余元素均为零。 【例16】系统的输入输出微分方程为： y+6y+41y+7y=6u 列写其状态方程和输出方程。 解选y/6、/6、y/6为状态变量，即 =名=吝名=名 可得： 名=名= 6“言= 名==-7-41-6,+ 写成矩阵方程： 4
第1主拉的系丝的我方空国表造区兼 输出 y=6x1=(6,0,0x g=a 1./2传递函数中有零点时的实现 GIS)=CISI4)b 此时，系统的微分方程为： ym）+a-1ya-)+.+ay+aoy=bnum}+bn-1wm-9+.+b,u+bou 相应地，系统传递函数为： 6)=g+6=t+b+色，m≤n (1.25) 5+a,s"-+.+a,5+a 在这种包含有输人函数导数情况下的实现问题，与前述实现的不同点主要在于选取合适 的结构，使得状态方程中不包含输人函数的导数项，否则将给求解和物理实现带来麻烦。 为了说明方便，又不失一般性，这里先从三阶微分方程出发，找出其实现规律，然 后推广到n阶系统。 设待实现的系统传递函数为：· (1.26) 因为n=m,上式可变换为 Wo)=6,+6:-o)+(,-a5+(6-a) s+as+as ao Y)2+a+a3+a0) Y(s)=bU(s)+Y(s)(b2-ab3)s+(b -ab3)s+(bo-aob3) 对上式求拉氏反变换，可得： y =bju (b2-ab3)+(b-ab3)i+(bo-aob3 )y 据此可得系统模拟结构图，如图1.14所示。 每个积分器的输出为一个状态变量，可得系统的状态空间表达式： 1=x2 名2=x 名=-a0x1-a1x2-a2x1+u y=b3u+(b2-a2b3)x3+(b-a:b3)x2+(bo-aob3)x
鉴 现代控制理论 M- 回回斗卧回的8立 回 图1.14系统模拟结构图 或表示为： (1.27) y=((ba-apb),(61-ab3),(b2-ab3))%2 推广到n阶系统，式(1.26)的实现可以为： 不2 0 1 0 01 0 -a.-a (1.28) y=((bo-aob),(bi-a:b),(b-1-a.-ib) PDG
第1主拉制系达的我有空因表造这荟 它的状态方程与式(1.24)是相同的，所不同的只是输出方程。注意到这个差别， 就很容易根据式(1.28)，由传递函数中分子分母多项式的系数，写出系统的状态空间表 达式。 前面已经提到，实现是非唯一的。 仍以三阶系统出发，以式(1.26)的 传递函数为例，图1.15与图1.14相 出。从输入。输出的关系看。一者是 等效的。从图1.15可以看出，输入函 数的各阶导数出、步作适当的 等效移动，可以用图1.16a表示，只 要B、B、B、B系数选择适当，从 系统的输人输出看，二者是完全等效 的。将综合点等效地移到前面，得到 图1.15系统模拟结构图 等效模拟结构图如图1,16b所示。 从图1.16b容易求得其对应的传递函数为： W()=)a)+B(s+) +azs+ays do B+(aB +B:)s+(aBs +B)s+(aoBs ++azB +Bo) s'+a3+a13+a0 (1.29 为求得B,令式(1.29)与式(1.26)相等，通过对s多项式系数的比较得： B3=bs aBs +B:=b: a,B3+a82+B=6, aoB3 +aBz +a:B:+Bo =bo 故得： B3 =b3 B:=b2 -aBs (1.30) B=b-aBs -aB: Bo =bo-aoBs -aB:-aB 也可将式(1.30)写成式(1.31)的形式，以便记忆 1000 (b a100 B aa10 (1.31) ao as az 1