?现代控制理论 图18系统框图及模拟结构图 统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统的输出方程。 【例1-2】电网络如图1.9所示，输入 量为电流源，并指定以电容C,和C:上的电 压作为输出，求此网络的状态空间表达式。 解此网络没有纯电容回路，也没有纯 电感割集，因有两个电容两个电感，共四个 独立储能元件，故有四个独立变量。 R 以电容C,和C,上的电压6，和e,及电感 L,和2中的电流，和2为状态变量。即令： 图1.9电路图 4c,=x1, 6=x2 从节点a、b、c,按基尔霍夫电流定律列出电流方程： i+i3+x-C22=0 C名+名+x4=0
第1主拉屋统的找高空烟表达水效 Cx4+x4-i4=0 从三个回路(，、2、人，按基尔霍夫电压定律列出电压方程 -L名+名1+R3=0 -x1+L2元4+R,4=0 L2x4-L1元3-x2=0 从以上6个式子中消去非独立变量，和4，得： RCz=+R+Ri R,C2x1+L2x4=名1-R2x4 -L1南+L2x4=x2 从上述四式解出、x2、名、4，最后得到状态空间表达式： 0 0 R R 0-G(R,+R)C(R+R2) C:(R +R2) C2(R+R) R R,R2 (R,+R) -(R+R)(R+R L(R +R) R. RR、 (R+R)Z(R+R)(R+R -(R,+R) (1.13) x1 -688 X 【例13】图1.10所示的机械运动模型 中，M、M2为质量块（同时也为质量），K、 K,为弹簧，也为弹性系数，B,、B是阻尼器， 列写出在外力∫作用下，以质量块M,和M,的 位移y和y为输出的状态空间表达式。 解弹簧K、K2,质量块M,、M2是储能 元件，故弹簧的伸长度y、,质量块M、M 图1.10机械运动模型图 的速度、，可以选作状态变量。由结构图可以直接看出，它们是相互独立的。选： 1=为， =为 根据牛顿定律，对于M,有：
鉴是拉制里空 M0=k(-)+B,(密-当)-K-B出 对于M2,有： M,0=f-k(-)-B,(密-0) 把名=为=，马-出，女=密及=时代入上面两个式子，经整理可得 无=名 名= 名立K+k+点（品+县+品 名=是-+是-是+ 写成矩阵形式： 0 0 1 01 0 0 0 (K+) K2 0f(1.14) B2 M. 指定、x为输出，故： -6988 【例14】试列写图1.11所示机械旋转运动 模型的状态空间表达式。设转动惯量为J。 图中K为扭转轴的刚性系数；B为粘性阻尼系 数；T为施加于扭转轴上的力矩。 解选择扭转轴的转动角度日及其角速度仙为 状态变量，并令： 777777777 x1=0,x1=6,4=T 于是有 图1.1】机械旋转运动模型 x1=6=x2 根据牛顿定律： 8=-9-月8+7
第1章控制系统的状态空间表达式 弊 从而有： 名+ 指定，为输出： y=x 或者写成： -( (1.15) y=.) 【例1-5】图1.12是直流他励 电动机的示意图。图中R、L分别为电 枢回路的电阻和电感，J为机械旋转部 分的转动惯量，B为旋转部分的粘性 摩擦系数。列写该图在电枢电压作为 控制作用时的状态空间表达式。 图1.12直流电动机示意图 解电感L、转动惯量J是贮能元件，相应的物理变量电流i及旋转速度ω是相互独 立的，可选择为状态变量，即： 名1=i 名= 告=告密出 由电枢回路的电路方程，有： L盘++e=u 由动力学方程有： J出+Bw=Ki 由电磁感应关系有： e = 式中，©为反电动势：K。、K为转矩常数和反电动势常数。 把上面三式整理，改写成： 患-是-+ 尝- 把1=i,名2=w代人，有： 21
现代控制理论 (1.16) 若指定角速度ω为输出，则 y=x1=(0, ） 若指定电动机的转角日为输出，则上述两个状态变量尚不足以对系统的时域行为加以 全面描述，必须增添一个状态变量，： 名=0 多 =0=2 于是状态方程为： -8o✉0 (1.17) 10 x)(0 输出方程为： y=3=(0,0, x, 1.4状态变量及状态空间表达式的建立（二) 如上节所述，已知系统的内部结构，很容易求得它的状态空间表达式。已知系统的 状态空间表达式，也很容易求出它的外部描述 传递函数或运动方程式，后者将于1.6 节中介绍。至于它的逆问题，即由描述系统输入一输出动态芙系的远蓟方程式或传递函 数，建立系统的状态空间表达式，这样的问题叫实现问题。所求得的状态空间表达式既 保持了原传递函数所确定的输人、输出关系，又将系统的内部关系揭示出来。这是一个 比较复杂的问题，因为根据输入输出关系求得的状态空间表达式并不是唯一的，会有无 穷多个内部结构能够获得相同的输入输出关系。这个问题将在1.5节中讨论。 考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个阶线性常系数微分方程： y+a-yn-+.+ay+aoy=bnu）+bm-1um-+.+b,u+bou(1.18) 相应的传递函数为 0=8=,nn Y(s) ”+a- (1.19) +as +ao 所谓实现问题，就是根据上两式寻求如下式的状态空间表达式： 梁