数 现代控制理论 (a2)++do Bs(ste2)+ B0a) B88回一回T回千 回 回 图1.16系统模拟结构图 DG
第1章控制系统的状态空间表达式 数 将图1.16a的每个积分器输出选作状态变量，如图所示，得这种结构下的状态空间表 达式： 名1=名2+B2u =x+Bu 名3=-ao1-a1x-a23+B4 y=x+Bu 即 e (1.32) x) y=(1,0,0)3+B0 扩展到n阶系统，其状态空间表达式为： 0 0 0 0 0 0 B. 0 0 -a1-a2 -a. (1.33) y=(1,0,.,0,0: +B.u x.-1 x。 式中 B.=b Ba-1=b-1-a-B B-2=B-2-B-a-B- (1.34) 或记为：
茶戛代拉的理论 (B. Ga-1 a-2 a 10 【例1-7】已知系统的输人输出微分方程为： y+28y+196y+740y=360i+440u 试列写其状态空间表达式。 解由微分方程系数知： 4=28，a=196,=740,4=0,63=0,6=360,6=40 1)按式(1.28)所示的方法列写： )0 10）x0 x y=(40,360,0 x. 2)按式(1.33)所示的方法列写，首先根据式(1.34)的计算公式求B, B=6=0 B,=b,-aB=0 B,=6i-a8,-aB=360 月，=b。-a8,-aB2-aB3=-9640 按照式(1.33)直接写出状态方程和输出方程： （-740-196-28八x,（-9640 、x y=(山，0,0 x, 值得注意的是，这两种方法所选择的状态变量是不同的。这一点可以从它们的模拟 结构图（图1.14和图1.16a)中很清楚地看到。 1.4.3多输入一多输出系统微分方程的实现 以双输入一双输出的三阶系统为例，设系统的微分方程为： y1+a1y+a2y2=b41+b241+b42l (1.35) 2+a3y3+a4y1=b山2
第1章控制系统的状态空间表达式 弊 同单输人一单输出系统一样，式(1.35)系统的实现也是非唯一的。现采用模拟结 构图的方法，按高阶导数项求解： y1=-a六+b41-a2y2+b241+b4 2=-a32-a4y1+b42 对每一个方程积分： x=∬(-a+6,4)-+64+6]dr =J-a+b4)dr+f(b,41+b43-a2)d =(-ay1+b4)dl+(b24,+b4-ay2)dr y=(-ay2-ay1+b4)d 故得模拟结构图，如图1.17所示。 回 图1.17系统模拟结构图 取每个积分器的输出为一个状态变量，如图1.17所示。则式(1.35)的一种实现为： 名=-a1x1+名3+614 x2=-a3离+b2出1+b山 名=-a4x-a3+b4山2 或表示为： :卧6别 (1.36) 968图
奈曼代拉制里论 1.5状态夫量的线性变换（坐标变换） 1.5.1系统状态空间表达式的非唯一性 对于一个给定的定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表 达式描述同一系统，也就是说系统可以有多种结构形式。所选取的状态矢量之间，实际 上是种廷量的线性变换（或称坐标变换)。 设给定系统为： （=Ax+Bu,x(O)=xo) (1.37) y Cx +Du 我们总可以找到任意一个非奇异矩阵T,将原状态矢量x作线性变换，得到另一状态 矢量z,设变换关系为： x=Tz 0 2=T-x 代人式(1.37)，得到新的状态空间表达式： i=T-ATz +T-Bu,z(0)=T-x(0)=T-xo (1.38) y CTz +Du 很明显，由于T为任意非奇异阵，故状态空间表达式为非唯一的。通常称T为变换 矩阵。 例18】某系统状态空间表达式为： =(9+6:o)=(h (1.39) y=(0,3)x )若取变换矩阵T-(侣0)。即T:》则变换后的状态矢量将为： == 2=2 名=2-2 亦即新的状态变量、是原状态变量x、2的线性组合。 在这个状态变量下，变换后的状态空间表达式为： 品