第1章控制系统的状态空间表达式 鉴 式中，x= 为n维状态矢量： 为系统内部状态的联系，称为系统矩阵，为n×n方阵： aaa.an (b 为输人对状态的作用，称为输人矩阵或控制矩阵，这里为n×1的列阵： b.) c=(c1,c2,.,cn)为输出矩阵，这里为1×n的行阵。 对于一个复杂系统，具有，个输入，m个输出，此时状态方程变为： 元1=anx1+a2x2+.+a1nx。+bu41+b242+.+b,4, 名2=a2名1+anx2+.+a2nxn+b241+b22+.+b2,u, 元，=alx1+a3x2+.+amx。+bh1+ba山2+.+bn4, 至于输出方程，不仅是状态变量的组合，而且在特殊情况下，还可能有输入矢量的 直接传递，因而有如下的一般形式： y=C1x1+c12为+.+c1nx。+di41+d2h2+.+d,4 =211+C2z3+.+C2n。+d1+dnh3+.+d, =ca+c+.+Cn。+dn4+dna+.+dn 因而多输入一多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为： x=Ax t Bu y Cx +Du (1.10) 式中，x和A为同单输人系统，分别为n维状态矢量和n×n系统矩阵； 4 为r维输入（或控制）矢量： 为m维输出矢量； 13
鉴 现代控制理论 b1b2.b.y bbn.b2 B= 为n×r输入（或控制）矩阵： bba.bn . C= 为m×n输出矩阵； did. D= d 为m×r直接传递矩阵。 da d d) 为了简便，下面除特别申明，在输出方程中，均不考虑输入矢量的直接传递，即令 D=0。 1.1.7状态空间表达式的系统框图 和经典控制理论相类似，可以用框图表示系统信号传递的关系。对于式(1,9)和式 (1.10)所描述的系统，它们的框图分别如图1.2a和1.2b所示。 K a) =☒兰口=8二 b) 图1.2系统信号传递框图 图中用单线箭头表示标量信号，用双线箭头表示矢量信号 从状态空间表达式和系统框图都能清楚地说明：它们既表征了输人对于系统内部状 态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，所以状态空间表达式是对系统 的一种完全的描述
第1章控制系统的状态空间表达式 兼 1.2状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 在状态空间分析中，采用模拟结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系， 对建立系统的状态空间表达式很有帮助。 为了简便，这里用框图代替模拟计算机的详细模拟图。状态空间表达式的框图可按 如下步骤绘制：积分器的数目应等于状态变量数，将它们画在适当的位置，每个积分器 的输出表示相应的某个状态变量，然后根据所给的状态方程和输出方程，画出相应的加 法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。 对于一阶标量微分方程： x ax +bu 它的模拟结构图示于图1.3。 再以三阶微分方程为例： x+ax +ax anx bu 图1.3一阶标量微分方程的模拟结构图 将最高阶导数留在等式左边，上式可改写成 =-aox -a-az bu 它的模拟结构图示于图1,4。 同样，已知状态空间表达式，也可 画出相应的模拟结构图，图1.5是下列 三阶系统的模拟结构图 名1=名2 x, x1=-6x1-3x2-2x3+u y x x2 图1.6是下列二输人二输出的二阶 系统的模拟结构图。 图1.4三阶微分方程的模拟结构图 名1=an离1+a22+b1出1+b242 名=a2x+anx+b出1+b4 为1=Cn名+C12x Y=Cuxt cux 从图1.6可以看出，一个二输入二 输出的二阶系统，其结构图已经相当复 杂，如果系统再复杂一些，其信息传递 关系更为繁琐。所以多输人多输出系统 的结构图多以图1.2所示矢量结构图的 形式表示。 图1.5系统模拟结构图
※现拉制理论 阿 回 回 ⑧为 图1.6二输入二输出的二阶系统的模拟结构图 1.3状态变量及状态空间表达式的建立（一） 用状态空间法分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式。这个表达式 般可以从三个途径求得：一是由系统框图来建立，即根据系统各个环节的实际连接，写 出相应的状态空间表达式：二是从系统的物理或化学的机理出发进行推导；三是由描述 系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。 本节先介绍前两种方法。 1.3.1从系统框图出发建立状态空间表达式 该法是首先将系统的各个环节按1,2节所述，变换成相应的模拟结构图，并把每个积 分器的输出选作一个状态变量，其输人便是相应的；然后，由模拟图直接写出系统 的状态万程和输出方程。 【例11】系统框图如图1.7a所示，输入为“，输出为y。试求其状态空间表达式。 解各环节的模拟结构图如图1.7b所示。 从图可知 高-点 名+会 状态方程 名京+别 y =x1 输出方程 的
器 第1主拉的系桃的秋态空的表达式鉴 ,8图⑧一⑦中图8☑图☑子 b) 图L.7系统框图及模拟结构图 写成矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为： （0 ￥=0 *0 (1.11) K K. 0-7 y=1,0,0)x 对于含有零点的环节，如图1.8雕所示的系统，可将其展开成部分分式，即书=1+ 从而得到等效框图如图1.8b所示，模拟结构图如图1.8©所示。从图可得系统的状 态空间表达式为： -a10)(0) （-(a-p)0-p :-p (1.12) y=1,0,0x 1.3.2从系统的机理出发建立状态空间表达式 一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力 等系统。根据其物理规律，如基尔需夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系