※见水拉制理论 统会随时间改变，而这种改变却在不能事先预知的情况下。一个自适应反馈控制规律是 在系统自动辨识的基础上自动调整的。 多变量控制 研究具有相关解的多输入多输出系统的控制问题。反馈的作用应当 包括对关联的去耦以形成不关联控制。 非线性控制理论 —研究非线性动态系统的控制问题。当前许多研究集中在把微分 几何作为主要研究方法。 随机控制一应用于系统或其摄动能以概率表达的地方。随机输出信号的滤波和预 报是随机控制的自然组成内容。 分布参数控制一应用于系统内部变量的空间分布对控制目标来说是极为重要的情 况。例如，对弹性板材震动的控制，对热传导、对内部有延迟的系统的控制以及对流体 流动的控制等等。 其它控制 一由于计算机技术的不断发展，其它许多控制问题也日趋重要了，例如 自学习与自组织系统、递阶控制系统、智能控制系统和离散事件控制系统等等。 8
第1章 控制系统的状态空间表达式 在经典控制理论中，对一个线性定常系统，可用常微分方程或传递函数加以描述 可将某个单变量作为输出，直接和输入联系起来。实际上系统除了输出量这个变量之外， 还包含有其它相互独立的变量，而微分方程或传递函数对这些内部的中间变量是不便描 述的，因而不能包含系统的所有信息。显然，从能否完全揭示系统的全部运动状态来说， 用微分方程或传递函数来描述一个线性定常系统有其不足之处。 在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程 组来描述的。它能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部内部运 动状态，而且还可以方便地处理初始条件。这样，在设计控制系统时，不再只局限于输 入量、输出量、误差量，为提高系统性能提供了有力的工具。加之可利用计算机进行分 析设计及实时控制，因而可以应用于非线性系统、时变系统、多输人一多输出系统以及 随机过程等。 1.1状态变量及状态空间表达式 1.1.1状态变量 足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量。一个用阶微分方 程描述的系统，就有个独立变量，当这个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动 状态也就被揭示无遗了。因此，可以说该系统的状态变量就是几阶系统的n个独立变量
※见代拉制里论 同一个系统，究竟选取哪些变量作为独立变量，这不是唯一的，重要的是这些变量 应该是相互独立的，且其个数应等于微分方程的阶数：又由于微分方程的阶数唯一地取 决于系统中独立储能元件的个数，因此状态变量的个数就应等于系统独立储能元件的个 数。 众所周知，n阶微分方程式要有唯一确定的解，必须知道n个独立的初始条件。很明 显，这n个独立的初始条件就是一组状态变量在初始时刻的值。 综上所述，状态变量是既足以完全确定系统运动状态而个数又是最小的一组变量 当其在t=。时刻的值已知时，则在给定t≥时刻的输人作用下，便能完全确定系统在任 何t≥t。时刻的行为。 1.1.2状态矢量 如果n个状态变量用x(t),x(),.,x(:)表示，并把这些状态变量看作是矢量 x(t)的分量，则x(t)就称为状态矢量，记作： x:(t） x()= 或x(t)=[x(),x2(t),.,x,(t)] ,(t) 1.1.3状态空间 以状态变量，()，x(t),.,x,()为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。在 特定时刻：，状态矢量x()在状态空间中是一点。已知初始时刻o的状态x(),就得到 状态空间中的一个初始点。随着时间的推移，x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为 状态轨线。状态矢量的状态空间表示将矢量的代数表示和几何概念联系起来了。 1.1.4状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程 用图1.1所示的R-L-C网络，说明如何用状态变量描述这一系统。 此系统有两个独立储能元件即电容C和电感L,所以应有两个状态变量。状态变量的 选取，原则上是任意的，但考虑到电容的储能与其两端的电压“c和电感的储能与流经它 的电流i均直接相关，故通常就以uc和i作为此系统的两个状态变量。 根据电学原理，容易写出两个含有状态变量的一阶微分方 程组： L能+i+e=u 图1.1R-LC电路 亦即 0
第1章控制系统的状态空间表达式 鉴 e=2 (1.1) i=-76-8+ 式（山.1）就是图1.1系统的状态方程，式中若将状态变量用一般符号x:表示，即令x,= 4c,2=i:并写成矢量矩阵形式，则状态方程变为： (1.2) 或 i=Ax +bu 式中 =(4- 0 1.1.5输出方程 在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方 程。如在图1.1系统中，指定x,=作为输出，输出一般用y表示，则有： y=uc 或 y =x (1.3) 式(1.3)就是图1.1系统的输出方程，它的矩阵表示式为： =4.) 或 y cx (1.4) 式中 c=1,0) 1.1.6状态空间表达式 状态方程和输出方程总合起来，构成对一个系统完整的动态描述称为系统的状态空 间表达式。如式(1.1)和式(1.3)所示，而式(1.2)和式(1.4)就是图1.1系统的 状态空间表达式 在经典控制理论中，用指定某个输出量的高阶微分方程来描述系统的动态过程。如 图1.1所示的系统，在以“e作输出时，从式(1.1)消去中间变量i,得到二阶微分方 起
数 现代拉制理论 程为： e+e+2e=记 (1.5) 其相应的传递函数为 1 uc(s) (1.6) 如果要从高阶微分方程或从传递函数变换为状态方程，即分解为多个一阶微分方程， 那么此时的状态方程可以有无穷多种形式，这是由于状态变量的选取可以有无穷多种的 缘故。这种状态变量的非唯一性，归根到底，是由于系统结构的不确定性造成的。关于 这个问题，下面还将论及，此处暂不多述。 回到式(1.5)或式(1.6)的二阶系统，若改选“和作为两个状态变量，即令 x,=“c,名=c,则得一阶微分方程组为： 名1= 名记+是+记 (1.7) 即 (01)(01 i= 1 (1.8) 比较式(1.8)和式(1.2)，显而易见，同一系统中，状态变量选取的不同，状态方 程也不同。 从理论上说，并不要求状态变量在物理上一定是可以测量的量，但在工程实践上， 仍以选取那些容易测量的量作为状态变量为宜，因为在最优控制中，往往需要将状态变 量作为反馈量。 设单输人一单输出定常系统，其状态变量为名，名，.，x,则状态方程的一般形式 为： 名1=a1+a2x+.+anx,+b1u 2=ax1+a3+.+anx。+b2u =a+a名+.+anx,+b山 输出方程式则有如下形式： 用矢量矩阵表示时的状态空间表达式则为： iAx +bu (1.9) y cx