任取x∈(x0-6,x0+6),当y由y-E变到y+E时,F(x,y)由负变到正.而其对 y连续并严格单调,因此由连续函数的介值定理知,在(y-E,y+E)中存在唯一的y, 使得F(x,y)=0.记之为y=f(x).我们得到定理中的隐函数的存在唯一性 在(x0-8,x0+δ)中任取x,x+Ax,设y=f(x),y+Ay=f(x+△x).则由 F(x,y)的可微性知,存在,0<0<1,使得 0=F(x+△x,y+△y)-F(x,y) F(x+θAx,y+6Ay)OF(x+θMx,y+Ay) 因此 F(x+BAr, F(x+8Ax, y+eAy) 令△x→0,等式右边极限存在因此∫(x)可导,且 f(x)=-(x F 如果F(x,y)是C'的函数,r≥2,则由f(x)是C的函数,得F2(x,f(x) F(x,f(x)也是C的因而(x)=-F(x/(x) 是C的,得∫(x)是C2的函数依此 F(x,f() 类推不难得到∫(x)是C的函数 例:设y=∫(x)是定理1中F(x,y)=0确定的隐函数.设F(x,y)是C2的函数,求 f"(x) 解:由/(x)=-2(x/(x)F 利用复合函数求导得 F(x,f(x)) F
6 任取 ( , ) 0 0 x Î x - d x + d , 当 y 由 - e 0 y 变到 + e 0 y 时, F( x, y) 由负变到正. 而其对 y 连续并严格单调, 因此由连续函数的介值定理知, 在( , ) 0 0 y - e y + e 中存在唯一的 y , 使得 F( x, y) = 0 . 记之为 y = f (x). 我们得到定理中的隐函数的存在唯一性. 在 ( , ) 0 0 x - d x + d 中任取 x, x + Dx , 设 y = f (x) , y + Dy = f (x + Dx) . 则 由 F( x, y) 的可微性知, 存在q, 0 < q < 1 , 使得 . ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) y y F x x y y x x F x x y y F x x y y F x y D ¶ ¶ + D + D D + ¶ ¶ + D + D = = + D + D - q q q q 因此, . ( , ) ( , ) F x x y y F x x y y x y y x + D + D + D + D = - D D q q q q 令Dx ® 0, 等式右边极限存在, 因此 f (x) 可导, 且 ( , ( )) ( , ( )) ( ) F x f x F x f x f x y x ¢ = - . 如 果 F( x, y) 是 r C 的函数 , r ³ 2 , 则 由 f (x) 是 1 C 的函数 , 得 F (x, f (x)) x , F (x, f (x)) y 也是 1 C 的. 因而 ( , ( )) ( , ( )) ( ) F x f x F x f x f x y x ¢ = - 是 1 C 的, 得 f (x) 是 2 C 的函数. 依此 类推不难得到 f (x) 是 r C 的函数. 例: 设 y = f (x)是定理 1 中 F( x, y) = 0确定的隐函数. 设 F( x, y) 是 2 C 的函数, 求 f ¢¢(x) . 解: 由 y x y x F F F x f x F x f x f ¢ x = - = - ( , ( )) ( , ( )) ( ) , 利用复合函数求导得
f(r)=(F+F.)F,-F(Fy+Fyy (F+ F (F/F,)F, -F(F+F (F/F, ) F Fx·F,-2F,FF,+FyF 定理1的证明显然对n个变元的函数也是成立的.这里我们用几何的语言给出这个定理 个等价的表述 定理2:设D是R”中区域,F(x1…,xn)∈C(D),如果在P0=(x,…,x)∈D满 足F(x…,x)=0,而F(x,…,x2)≠0.则存在(x…,x)的邻域U1和x2的邻域 U2及唯一的C(U1)的函数∫:U1→U2,使得在P的邻域U=U1U2上F(x1…,xn) 的零点集合与xn=f(x1,…,xn)的图象相同,即 m=onU=t(x, DKx 类似于齐次线性方程组的解,对于函数方程组,我们有下面定理 定理3:设D是R”中区域,对i=1…k,F(x1…,x)∈C(D),且在 P=(x,…x0)处满足F(x…,x)=0,而 a(F1…,F) (P0)≠0.则存在(x1,…x x, 的邻域U1和(x,+12…,x)的邻域U2,使得方程组 FO )=0 F(x1…,x)=0 在P0的邻域U=U1xU2上确定唯一的一组C(U2)的隐函数 XI 使(x12…,x,) 证明:用归纳法r=1时己在定理1中证明.设定理对r-1成立 7
7 . 2 ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 y xx y xy x y yy x y xx xy x y y x xy yy x y y xx xy y x xy yy F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F y F F F F y f x × - + × = - + × - - + × - = - + × ¢ - + × ¢ ¢¢ = - 定理1的证明显然对n 个变元的函数也是成立的. 这里我们用几何的语言给出这个定理 一个等价的表述. 定理 2: 设D 是 n R 中区域, ( , , ) ( ) 1 F x1 L xn Î C D . 如果在 P = (x , , xn ) Î D 0 0 0 1 L 满 足 ( , , ) 0 0 0 F x1 L xn = , 而 ( , , ) 0 0 0 Fx x1 xn ¹ n L . 则存在( , , ) 0 1 0 1 n - x L x 的邻域U1和 0 n x 的邻域 U2及唯一的 ( ) 1 1 C U 的函数 1 2 f :U ®U , 使得在 P0 的邻域U =U1 ´U2 上 ( , , ) 1 n F x L x 的零点集合与 ( , , ) n = 1 n-1 x f x L x 的图象相同, 即 { } { } 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (x ,L, xn ) F(x ,L, xn ) = 0 IU = (x ,L, xn- , f (x ,L, xn- ))(x ,L, xn- ) ÎU . 类似于齐次线性方程组的解, 对于函数方程组, 我们有下面定理 定 理 3: 设 D 是 n R 中区域 , 对 1, , , ( , , ) ( ) 1 i = L k Fi x1 L xn Î C D , 且 在 ( , , ) 0 0 0 1 n P = x L x 处满足 ( , , ) 0 0 0 Fi x1 L xn = , 而 ( ) 0 ( , , ) ( , , ) 0 1 1 ¹ ¶ ¶ P x x F F r r L L . 则存在( , , ) 1 r x L x 的邻域U1和( , , ) r 1 n x L x + 的邻域U2 , 使得方程组 ï î ï í ì = = ( , , ) 0 . ( , , ) 0 1 1 1 r n n F x x F x x L LLLLLLL L 在 P0 的邻域U =U1 ´U2上确定唯一的一组 ( ) 2 1 C U 的隐函数 ( , , ) ( , , ) 1 1 1 1 r r r n r n x f x x x f x x L LLLLLLL L + + = = , 使 1 1 (x ,L, xr )ÎU . 证明: 用归纳法. r = 1时已在定理 1 中证明. 设定理对r -1成立