我们有 (A, B, C) 由前面关于曲面=f(x,y)的面积的讨论,我们推知,现在的曲面的面积微元为 ds=√f2+B2+Camh 若我们令 E x+122 rux, tyy 则A2+B2+C2=EG-F2 从而我们有 ∫√+B2 √EG-F2dhuh 有了以上准备,我们可以给出第一型曲面积分的定义 定义设S是可求面积的连续曲面,f(xyz)在S上有定义,对S作分割囗S12…S (DS2的面积仍记为囗S)。记λ=max{S的直径},在S上任取一点M1=(1,n,s;)。 如果存在不依赖于分划及M,的选取的极限 =lim∑(5ns,)S 则称为∫(xy,z)在S上的第一型曲面积分,记作 I=‖f(xy,=)ds 以下的定理给出了第一型曲面积分的计算公式 定理设S是光滑曲面,其参数方程为 x=x(u,v),y=y(u, v)===(u,v), u,vED 再设fxy,)在S上连续,则积分(xy,=)ds存在,且
我们有 n = ±(,,) ABC r 由前面关于曲面 z = fxy ( , ) 的面积的讨论，我们推知，现在的曲面的面积微元为 222 ds = A B+ +C dudv 若我们令 222 222 uuu vvv u v u v u v E xyz G xyz F x x y y z z =++ ¢¢¢ =++ ¢¢¢ =++ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ （＊） 则 2 2 2 2 ABC ++=- EG F 从而我们有 222 2 D D S A B C dudv EG F dudv = + + = - òò òò 有了以上准备，我们可以给出第一型曲面积分的定义。 定义 设 S 是可求面积的连续曲面， fxyz (,,) 在 S 上有定义，对Ｓ作分割 1 , , VS S L V n （VSi 的面积仍记为VSi ）。记 1 max i n l £ £ = ｛ Si 的直径｝，在VSi 上任取一点 (,,) Mi iii = xhV 。 如果存在不依赖于分划及 Mi 的选取的极限 , 0 1 lim ( , ) n i i i i i IfS l x h V ® = = å V 则称 I 为 fxyz (,,) 在 S 上的第一型曲面积分，记作 (,,) S I = fxyz ds òò 以下的定理给出了第一型曲面积分的计算公式。 定理 设 S 是光滑曲面，其参数方程为 x = = x u( ,v y ), y u( ,v z ), = Î z u( , v), (,) u v D 再设 fxyz (,,) 在 S 上连续，则积分 (,,) S fxyz ds òò 存在，且
∫yxy:)=』/k(,1)1(uh 其中A,B,C见() 定理的证明可以由定义得到。略 例1.计算x2+y2+2=R2被x2+y2≤Rx所截出的曲面面积。 解:对球面方程求偏导得 a x az ax)(oy)√R2-x2-y2 设所求面积为S,则有 R S " 2R|2d0 IR2 2R 2(R-RIsine Dde x-1)R2 例2.计算曲面积分 其中S:x2+y2+z2=a2。 解法一由对称性,容易看出 ∫rx4s=jyds=」ds 所以 =(x2+y2+)d==d 解法二S的参数式为 x=acos e sin, y= asine sin ==acos p D={(q):0≤6≤2丌,0≤q≤丌} E=a' sin F=0,G=a
(,, ) [(, ),(, ),(, )] S D fxyz ds = fxu v y u v zuv dudv òò òò 其中 ABC , , 见（＊）。 定理的证明可以由定义得到。略。 例１． 计算 2 2 2 2 xyzR ++= 被 2 2 x y + £ Rx 所截出的曲面面积。 解：对球面方程求偏导得 z x x z ¶ = - ¶ ， z y y z ¶ = - ¶ 2 2 222 1 z z R x y Rxy æ ö ¶ ¶ æ ö ++= ç ÷ ç ÷ è ø ¶ ¶è ø - - 设所求面积为 S，则有 2 2 222 cos 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 ( |sin |) 4( 1) 2 x y Rx R R S dxdy Rxy rdr R d R r R R R d R p q p p p q q q p + £ - - = - - = - = - = - òò ò ò ò 例２． 计算曲面积分 2 S I = z dS òò 其中 S： 2222 xyza ++= 。 解法一 由对称性，容易看出 222 SSS x dS = = y dS z dS òò òò òò 所以 2 2 2 2 4 4 ( ) 3 3 S S a I = x y + + z dS == = dS a p òò ò 解法二 S 的参数式为 cos sin , sin sin , cos {( , ) : 0 2 , 0 } x a y a z a D q j q j j q j q p j p === = £ £ £ £ 因 2 2 2 E = a sin j, F = = 0, G a