从而Sn=1+1+n1+如1+…+1≤1+1++1+…+2m753 部分和有界,该正项级数收敛。 比较判别法 由定理5,容易推出下面判别法: 定理6(比较原则)有两个正项级数∑un,∑v若存在自然数,当n>N 时,有 1)若级数∑v收敛,则级数∑ln也收敛 2021/2/24
2021/2/24 11 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 3 1 ! 1 − = = n n n 从而 3 2 1 2 1 2 1 1 1 ! 1 3! 1 2! 1 1 1 2 1 = + + + + + + + + + + n n− n S 部分和有界，该正项级数收敛。 比较判别法 由定理 5，容易推出下面判别法： 定理 6（比较原则）有两个正项级数 n=1 un ， n=1 n v 若存在自然数N ,当n N 时，有 un cvn , c 0 ， 则 1)若级数 n=1 n v 收敛，则级数 n=1 un 也收敛；
2)若级数∑un发散,则级数∑v也发散 例讨论P级数∑的敛散性 1)p=1时为调和级数发散; 2)p<1时>由比较判别法,P-级数发散 3)p>1时 P P (1--n-)<1+ 1) P P 部分和有界,级数收敛。 2021/2/24 12
2021/2/24 12 2)若级数 n=1 un 发散，则级数 n=1 n v 也发散。 例 讨论 p − 级数 =1 1 n p n 的敛散性。 1） p = 1 时为调和级数发散； 2) p 1 时 n n p 1 1 由比较判别法， p − 级数发散； 3） p 1 时 ] 1 ( 1) 1 [ 1 1 1 −1 −1 − − − p p p n p n n 1 1 ) 1 1 (1 1 1 )] 1 1 ( 1) 1 ( ) 3 1 2 1 ) ( 2 1 [(1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 − − + − − = + − + − + − + − = + + + + + − − − − − − n n p n p n p S p p p n p p p p p p 部分和有界，级数收敛
结论:P-级数∑1ps1时发散;p>1时收敛 例1) (n2+1) 解 而 n(n2+1) n32收敛 由比较判别法,级数 收敛 (n2+1) 例2)∑ 解 而 发散 由比较判别法,级数∑ 发散 2021/2/24 13
2021/2/24 13 结论： p − 级数 =1 1 n p n p 1 时发散；p 1 时收敛。 例 1） =1 + 2 ( 1) 1 n n n ， 解 3 / 2 2 1 ( 1) 1 n n n + ， 而 =1 3 / 2 1 n n 收敛 由比较判别法，级数 =1 + 2 ( 1) 1 n n n 收敛。 例 2） =1 − 3 2 1 1 n n 解 2 / 3 3 2 1 1 1 n n − ， 而 =1 2 / 3 1 n n 发散， 由比较判别法，级数 =1 − 3 2 1 1 n n 发散
七较判别法的极限形式: 推论有两个正项级数∑un,∑v,n≠0且hm 1)若级数∑vn收敛,且0≤k<+,则级数∑un也收敛 2)若级数∑发散,且0<k+0,则级数∑n也发散。 例判别下列级数的敛散性 2)∑h 解首先要找出一个敛散性已知的级数 1)前面我们证明过级数之 收敛,用它作比较得In 0 n→1/n 2021/2/24 14
2021/2/24 14 比较判别法的极限形式： 推论 有两个正项级数 n=1 n u ， = 1 , 0 n n n v v 且 k v u n n n = → lim 1）若级数 n=1 n v 收敛，且 0 k + ，则级数 n=1 un 也收敛； 2）若级数 n=1 n v 发散，且 0 k + ，则级数 n=1 n u 也发散。 例 判别下列级数的敛散性 1） = 1 ! 1 n n n 2） = + 1 ) 1 ln(1 n n 解 首先要找出一个敛散性已知的级数 1）前面我们证明过级数 =1 ! 1 n n 收敛，用它作比较得 0 1/ ! 1/( !) lim = → n n n n
所以∑收敛 n·n )前面讲过调和级数发散,用调和级数作比较得 imh(1+1/n) = lim In(1+1/n)"=1 H→ 1/n! n→ 所以∑h( 发散 用比较判别法,需要事先有一个敛散性已知的合适级数作为比较的基础,用 起来不大方便,我们用几何级数作比较可以导出两个简便判别法 比式判别法和根式判别法 定理7(达朗贝尔判别法或比值判别法)有正项级数∑n 2021/2/24 15
2021/2/24 15 所以 = 1 ! 1 n n n 收敛。 2）前面讲过调和级数发散，用调和级数作比较得 lim ln[(1 1/ ) 1 1/ ! ln(1 1/ ) lim = + = + → → n n n n n n 所以 = + 1 ) 1 ln(1 n n 发散 用比较判别法，需要事先有一个敛散性已知的合适级数作为比较的基础，用 起来不大方便，我们用几何级数作比较可以导出两个简便判别法. 二 比式判别法和根式判别法 定理 7 （达朗贝尔判别法或比值判别法）有正项级数 n=1 n u