第十二章数项级数 §1级数的收敛性 要求: 1掌握级数的基本概念,敛散性定义、记住几何级数、调和级数的敛散结论, 2掌握理解级数的基本性质 要点:1)级数的收敛性,2)级数的基本性质 1数项级数的概念、记号:将数列n的各项用加号连接起来,即 l1+l2+…+ln+ 或∑un 称为数值级数,简称级数。其中第n项"称为通项。 2021/2/24
2021/2/24 1 第十二章 数项级数 §1 级数的收敛性 要求： 1 掌握级数的基本概念，敛散性定义、记住几何级数、调和级数的敛散结论， 2 掌握理解级数的基本性质 要点：1）级数的收敛性，2）级数的基本性质 1 数项级数的概念、记号： 将数列{ }n u 的各项用加号连接起来，即 u1 + u2 + + un + 或 n=1 n u 称为数值级数，简称级数。其中第 n 项 n u 称为通项
级数的敛散性与和 2介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想 级数的部分和:.Sn=l1+2+…+ln 3以在中学学过的无穷等比级数为蓝本,定义敛散性、级数的和、余和以 及求和等概念 级数的收敛性:若mSn=S存在,称级数∑n收敛称为级数的和 余和:称n=S-Sn=∑u为级数∑n的余和 若部分和数列{S}发散,则称级数∑un发散,发散级数没有和。 这就是说,级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断。 2021/2/24
2021/2/24 2 级数的敛散性与和 : . 2 介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想 级数的部分和： . n n S = u + u + + u 1 2 3 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以 及求和等概念 级数的收敛性：若 S S n n = → lim 存在，称级数 n=1 n u 收敛，S 称为级数的和； 余和：称 = = − = k n n n k r S S u 为级数 n=1 n u 的余和 若部分和数列{ }n S 发散，则称级数 n=1 n u 发散，发散级数没有和。 这就是说，级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断
例1讨论几何级数∑amn,a≠0的敛散性。 按照级数收敛性的定义,其敛散性可通过部分和数列的敛散性判断。 由等比数列前n项和的计算公式,r≠1时, =a+ar+∴+a 1)当|r|<1时,imSn=1- 几何级数收敛,其和为 2)当||>1时,lmSn=∞,此时几何级数发散,和不存在; n→0 3)当|r=1时,显然S} 发散; 结论:几何级数∑ur",a≠0,当rk<1时,收敛,其和为, 2021/2/24
2021/2/24 3 例 1 讨论几何级数 , 0 1 1 = − ar a n n 的敛散性。 按照级数收敛性的定义，其敛散性可通过部分和数列的敛散性判断。 由等比数列前 n 项和的计算公式，r 1 时， n n n n r r a r a r a ar S a ar ar − − − = − − = + + + = − 1 1 1 1 1） 当 | r | 1 时， r a Sn n − = → 1 lim ，几何级数收敛，其和为 r a 1− ； 2） 当 | r | 1 时， = → n n lim S ，此时几何级数发散，和不存在； 3） 当 | r |= 1 时，显然 { }n S 发散； 结论：几何级数 , 0 1 1 = − ar a n n ，当 | r | 1 时，收敛，其和为 r a 1− ；
例2讨论级数 的敛散性. n(n+1) 解利用 求出部分和 n(n+1)nn+1 例3讨论级数∑n的敛散性 k 解设 n→ n+1 2021/2/24
2021/2/24 4 例 2 讨论级数 =1 ( +1) 1 n n n 的敛散性. 解 利用 1 1 1 ( 1) 1 + = − n n + n n 求出部分和 Sn , 例 3 讨论级数 n=1 2 n n 的敛散性. 解 设 = − + − = = + + + + n k n k n n k n n S 1 2 3 1 2 2 1 2 3 2 2 2 1 2 , Sn = 2 1 2 3 4 1 2 2 1 2 3 2 2 2 1 + + − + + + + n n n n , 2 3 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 + = − = + + + + − n n n n n n S S S = 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 − 1 → − − = n+ n n , ( n → )
Sn→2,(n→>∞) 因此,该级数收敛 例4讨论级数∑57=3的敛散性 2n 2n 解 →) >n (n→>∞).级数发散 n 二收敛级数的性质 因为级数的敛散性等价于部分和数列的敛散性,由数列收敛的柯西准则,级 数收敛的充分必要条件为: 定理1,(柯西准则)级数∑tn收敛VE>0,3N,Vn>N,Vp∈N有 n=1 Smin-s,<a 2021/2/24 5
2021/2/24 5 n S → 2 , ( n → ) . 因此, 该级数收敛. 例 4 讨论级数 =1 5 − 3 2 n n n 的敛散性. 解 5 2 , 5 2 5 2 5 3 2 = − S n n n n n n →+ , ( n → ) . 级数发散. 二 收敛级数的性质 因为级数的敛散性等价于部分和数列的敛散性，由数列收敛的柯西准则，级 数收敛的充分必要条件为： 定理 1，（柯西准则）级数 n=1 n u 收敛 0, N, n N, p N 有 − + | | n p n S S