第六章微分中值定理及其应用 ☆教学目标: 1°使学生深刻理解微分中值定理及其分析意 义与几何意义。掌握它的证明方法,了解 它在微分中值定理中的地位。 2°通过知识学习,使学生初步具有应用中值 定理进行分析论证的能力,能用以证明某 些有关的命题,特别是掌握通过构造辅助 函数解决问题的办法。 3°使学生学会应用值定理研究函数在某区间 上的某些整体性质,如单调性,有界性等 4°使学生掌握中值定理,领会其实质,为微 分学的应用打好坚实的理论基础
数 学 分 析 1°使学生深刻理解微分中值定理及其分析意 义与几何意义。掌握它的证明方法，了解 它在微分中值定理中的地位。 2°通过知识学习，使学生初步具有应用中值 定理进行分析论证的能力，能用以证明某 些有关的命题，特别是掌握通过构造辅助 函数解决问题的办法。 3°使学生学会应用值定理研究函 数在某区间 上的某些整体性质，如单调性，有界性等 4°使学生掌握中值定理，领会其实质，为微 分学的应用打好坚实的理论基础。 第六章 微分中值定理及其应用 教学目标：
§1拉格朗日中值定理 罗尔定理与拉格朗日定理 数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质,而研究函数性质的最重要工具 之一就是微分中值定理,微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。 极值概念: 1.回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:ν 定理( Fermat)设函数∫在点x的某 f(r) 邻域内有定义,且在点x0可导,若点x0为f 的极值点,则必有f(x0)=0 、罗尔中值定理:若函数∫满足如下 条件 (i)在闭区间[a,b]上连续 (ⅱ)在开区间(a,b)内可导;
1 2 x y o y = f (x) C 一 罗尔定理与拉格朗日定理 数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质，而研究函数性质的最重要工具 之一就是微分中值定理，微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。 一． 极值概念： 1． 回忆极值的概念和可微极值点的必要条件: 定理 ( Fermat ) 设函数 f 在点 0 x 的某 邻域内有定义，且在点 0 x 可导，若点 0 x 为 f 的极值点，则必有 f (x0 ) = 0 1、罗尔中值定理：若函数 f 满足如下 条件： （i）在闭区间 [a，b] 上连续； （ii）在开区间（a，b）内可导； §1 拉格朗日中值定理
(i)f(a)=f(b), 则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 f(5)=0 (分析)由条件(i)知f在a,b]上 有最大值和最小值,再由条件(ii)及(ii),应用费马定理便可得到结论。 证明:因为∫在[a,b]上连续,所以有最大值与最小值,分别用M与m表示,现分两 种情况讨论 (i)若M=m,则f在[a,b]上必为常数,从而结论显然成立。 (i)若m<M,则因f(a)=f(b),使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某 点ξ处取得,从而ξ是∫的极值点,由条件(ⅱi)∫在点ξ处可导,故由费马定理推知
（iii） f (a) = f (b) ， 则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得 f （ξ）= 0 （分析）由条件（i）知 f 在[a，b ]上 有最大值和最小值，再由条件（ii）及（iii），应用费马定理便可得到结论。 证明：因为 f 在［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用 M 与 m 表示，现分两 种情况讨论： (i)若 M = m , 则 f 在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立。 (ii)若 m ＜ M，则因 f (a)= f (b)，使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在(a,b)内某 点ξ处取得，从而ξ是 f 的极值点，由条件(ii) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知
度相等,则至少存在一条水平切线。 注2:习惯上把结论中的ξ称为中值,罗尔定理的三个条件是充分而非必要的。 x|<1 例如:F(x)=10 1<x<2 易见,F在x=-1不连续,在x=±1不可导,F(-2)≠F(2),即罗尔定理的三个条件均不成 立,但是在(-2,2)内存在点ξ,满足F()=0
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 度相等，则至少存在一条水平切线。 注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的。 例如： − − = 1 , 1 x 2 0 , 2 x 1 x , | x | 1 F(x) x 易见，F 在 x=-1 不连续，在 x=±1 不可导，F (-2 )≠F（2）, 即罗尔定理的三个条件均不成 立，但是在（-2，2）内存在点 ξ, 满足 F( ) = 0
但缺少其中在何一个条件,定理的结论将不一定成立,见下图: b 缺条件1 缺条件2 缺条件3
但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立，见下图： 缺条件1 a b a b a b 缺条件2 缺条件3