Pyre 第十一章反常积分 白数学目标 掌握反常积分敛散性的定义,奇点; 掌握一些重要的反常积分收敛和发散 的例子; 理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念, 并能用反常积分的 Cauchy收敛原理、 非负函数反常积分的比较判别法、 Cauchy判别法,以及一般函数反常积 分的Abel、 Dirichlet判别法判别基本的 反常积分
掌握反常积分敛散性的定义，奇点; 掌握一些重要的反常积分收敛和发散 的例子; 理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念， 并能用反常积分的Cauchy收敛原理、 非负函数反常积分的比较判别法、 Cauchy判别法，以及一般函数反常积 分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的 反常积分。 第十一章 反常积分 教学目标：
第十一章反常积分 §1反常积分概念 问题的提出 例1(第二宇宙速度问题) 在地球表面初值发射火箭,要是火箭克服地球引力,无限远离地球,问初速 度至少多大?
第十一章 反常积分 §1 反常积分概念 一 问题的提出 例 1（第二宇宙速度问题） 在地球表面初值发射火箭，要是火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速 度至少多大？
解。设地球半径为R,火箭质量为m地面重力加速度为g,有万有引力定理, 在距地心x处火箭受到的引理为 F(x=mgR 于是火箭上升到距地心r处需要做到功为 mgn-dx=mgR( R R 当r→>∞时,其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 mgR R dx=lim -)dx= mgR r→)∞ 再由能量守恒定律,可求得处速度v至少应使 m2=mgR→v=√2 gR≈112km/s)
下一页 上一页 解 设地球半径为R ，火箭质量为m 地面重力加速度为g ，有万有引力定理， 在距地心x 处火箭受到的引理为 2 2 ( ) mgR F x x = 于是火箭上升到距地心r 处需要做到功为 2 2 2 1 1 ( ) r R mgR dx mgR x R r = − 当r → 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 2 2 2 2 lim r r R R mgR mgR dx dx mgR x x → = = 再由能量守恒定律，可求得处速度 0 v 至少应使 2 0 0 1 2 11.2( / ) 2 mv mgR v gR km s = =
例2从盛满水开始打开小孔,问需多 长时间才能把桶里水全部放完? 解由物理学知识知道,(在不计摩擦情 况下),桶里水位高度为h-x时,水从小 孔里流出的速度为 √2g(h 设在很短一段时间Δt内,桶里水面降低的 高度为△x,则有下面关系: 兀R2△x=pnn2Mt 由此得t= x∈[0,h g(h -x) 所以流完一桶水所需的时间应为 R dx (2g(h-x)
O xO h 例 2 从盛满水开始打开小孔，问需多 长时间才能把桶里水全部放完？ 解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情 况下），桶里水位高度为h x − 时，水从小 孔里流出的速度为 v g h x = − 2 ( ) 设在很短一段时间t 内，桶里水面降低的 高度为x ，则有下面关系： 2 2 R x v r t = 由此得 2 2 , [0, ] 2 ( ) R t x x h r g h x = − 所以流完一桶水所需的时间应为 2 2 0 (2 ( ) h f R t dx r g h x = −
但是,被积函数在(O上是无界函数,所一我们取 R t,=lim t→>h r2(2g(h-x) th r i=(h-h-l)= h 相对于以前学习的定积分(正常积分),我们把这里的积分叫做反常积分
但是，被积函数在(0, ] h 上是无界函数，，所一我们取 2 2 0 2 2 2 2 lim (2 ( ) 2 2 lim ( ) u f u h u h R t dx r g h x R h R h h u g r g r − − → → = − = − − = 相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分