《数学分析》试题库：数学系一年级《数学分析》期末考试题

(一)数学系一年级《数学分析》期末考试题 学号 姓名 (满分10分,每小题2分)单项选择题: 1、{an}、{bn}和{cn}是三个数列,且存在N,VnN时有an≤bn≤Cn,则( A{an}和{bn}都收敛时,{cn}收敛;B.{an}和{bn}都发散时,{cn}发散 C{an}和{bn}都有界时,{cn}有界:D.{b}有界时,{an}和(cn}都有界 2、f(x)={k, (k为常数) 2+x x>0. 函数f(x)在点x0=0必 A.左连续 B.右连续 C.连续 D.不连续 3、f(x0)在点x=0必 A. lim /(xo+Ax)-/ (xo). B. lim((xo +Ax)-f()) △x m(x+40-1(x):Dmf(x+4)-/(x) ⊥x 4、设函数∫(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可微,但f(a)≠∫(b) 则 A.3∈(a,b),使∫(2)=0 B.3∈(a,b),使∫(5)≠0; C.Vx∈(a,b),使∫(x)≠0; D.当∫(b)>f(a)时,对Ⅵx∈(a,b),有f(x)>0 5、设在区间I上有f(x)x=F(x)+c,g(x)d=G(x)+c。则在I上有( A.f(x)g(x)dx=F(x)G(x): B.f(x)g(x)dx= F(x)G(x)+c C. JI(x)G(x)dx+g(x)F(x)]dx=F(x)G(x)+c D. [(x)F(x)dx+g(x)G(x)]dx= F(x)G(x)+c

（一）数学系一年级《数学分析》期末考试题 学号 姓名 一、（满分 10 分，每小题 2 分）单项选择题： 1、{ n a }、{ n b }和{ n c }是三个数列，且存在 N,  n>N 时有 an  bn  n c ，则（ ） A { n a }和{ n b }都收敛时，{ n c }收敛； B. { n a }和{ n b }都发散时，{ n c }发散； C { n a }和{ n b }都有界时，{ n c }有界； D. { n b }有界时，{ n a }和{ n c }都有界； 2、 f (x) =        +  =  2 , 0, , 0, ( . , 0, sin x x k x k x x k x 为常数） 函数 f (x) 在 点 x0 = 0 必 （ ） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、 '' f （ 0 x ）在点 x0 = 0 必 （ ） A. x f x x f x x  +  −  → ( ) ( ) lim 0 2 0 2 0 ； B. ' 0 0 0 ( ) ( ) lim          +  −  → x f x x f x x ; C. ' 0 0 0 ( ) ( ) lim          +  −  → x f x x f x x ; D. x f x x f x x  +  −  → ( ) ( ) lim 0 ' 0 ' 0 ； 4、设函数 f (x) 在闭区间[ a,b ]上连续，在开区间（ a,b ）内可微，但 f (a)  f (b) 。 则（ ） A.   （ a,b ），使 ( ) 0 ' f  = ； B.   （ a,b ），使 ( ) 0 ' f   ; C. x （ a,b ），使 ( ) 0 ' f x  ； D.当 f (b) > f (a) 时，对 x （ a,b ），有 ( ) ' f x >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有  f (x)dx = F(x) + c ，  g(x)dx = G(x) + c 。则在Ⅰ上有（ ） A.  f (x)g(x)dx = F(x)G(x) ； B. f x g x dx = F x G x + c  ( ) ( ) ( ) ( ) ； C.  [ f (x)G(x)dx + g(x)F(x)]dx = F(x)G(x) + c ； D. f x F x dx + g x G x dx = F x G x + c  [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ；

二、(满分15分,每小题3分)填空题: 11m(3x+2)2 2f(x)=sgn(cosx)。f(x)在区间[-x,]上的全部间断点为 3 f(x=sn- x,f( 6 4函数∫(x)在R内可导,且在(-∞,1)内递增,在(1,+∞)内递减,F(x)=f(xe2) F(x)的单调递减区间为 ∫(x)∫(x) 1+f2(x) (满分36分,每小题6分)计算题: l、lir 2、把函数shx=-C展开成具 Peano型余项的 Maclaurin公式; 3、 earctgve2-ldr; 4、f(x2)=e,计算积分/(x)8 6、斜边为定长c的直角三角形绕其直角边旋转,求所得旋转体的最大体积 2n2 四、(满分7分)验证题:由有“E-N”定义验证数列极限lin h03n2-253 五、(满分32分,每小题8分)证明题: 1设函数∫(x)和g(x)都在区间I上一致连续,证明函数∫(x)+g(x)在区间I上 致连续 2设函数f(x)在点x0可导且f(x)≠0,试证明:4y~(x)-,其中 △y=∫(x0+Ax)-f(x0) 3设函数f(x)在点a具有连续的二阶导数,试证明:

二、（满分 15 分，每小题 3 分）填空题 ： 1 2 1 3 1 3 2 lim − →+       − + x x x x ＝ ； 2 f (x) = sgn(cos x) 。 f (x) 在区间[ −  , ]上的全部间断点为 ； 3 f (x) ＝ x 2 sin , ) = 6 ( (11)  f ； 4 函数 f (x) 在 R 内可导，且在（− ,1 ）内递增，在（ 1,+ ）内递减, ( ) ( ) x F x = f xe ， F(x) 的单调递减区间为 ； 5 = +  dx f x f x f x 1 ( ) ( ) ( ) 2 ' ； 三、（满分 36 分，每小题 6 分）计算题： 1、       − x→ x x 2 2 0 sin 1 1 lim ; 2、把函数 2 x x e e shx − − = 展开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 ; 3、 e arctg e dx x x  − + 1 1 ； 4、 x f (x ) = e 2 ,计算积分 dx x f x  ( ) ； 5、  − + − dx x x x 3 2 3 2 ； 6、斜边为定长 c 的直角三角形绕其直角边旋转，求所得旋转体的最大体积 ; 四、（满分 7 分）验证题：由有“ − N ”定义验证数列极限 3 2 3 25 2 3 lim 2 2 0 = − + − → n n n h ； 五、（满分 32 分，每小题 8 分）证明题： 1 设函数 f (x) 和 g(x) 都在区间Ⅰ上一致连续，证明函数 f (x) + g(x) 在区间Ⅰ上一 致连续； 2 设函数 f (x) 在点 0 x 可导且 ( 0 ) 0 ' f x  ，试证明： y ～ 0 ( ) x x df x = ，其中 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ； 3 设函数 f (x) 在点 a 具有连续的二阶导数，试证明：

m(a+h)+/(a-h)-2f( f(a); 4试证明:0<x<时,有不等式snx 丌 (二)一年级《数学分析》考试题 、(满分10分,每小题2分)判断题 1、无界数列必发散 2、若对vE>0,函数∫在[a+E,b-E]上连续,则∫在开区间(a,b)内连续;() 3、初等函数在有定义的点是可导的 4、f=qW,若函数p在点x0可导,W在点x0不可导,则函数∫在点x0 必不可导 5、设函数∫在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,但∫(x)≠∫(b),则 b),有∫(x)≠ 、(满分20分,每小题4分)填空题: 1、mn("2+2)(2n-1)= 2、曲线y=xhx的所有切线中,与直线x+2y-2=0垂直的切线是 ln(x+√l+x2) dy dx 4、函数f(x)三阶可导,y=c(,则4}= dx 5、把函数∫(x)=e-x展开成具 Peano型余项的 Maclaurin公式, f(x) 三、(满分30分,每小题6分)计算题: 4+xl(1+x2)-2 l、lin x0x(e2-1)im2√3x f(x0)=0,f(x0)=3,求m Ax △r sin x-x x 求d; 4、y=x-snx (80)

( ) ( ) ( ) 2 ( ) lim '' 2 0 f a h f a h f a h f a h = + + − − → ； 4 试证明： 0 < x < 2  时，有不等式 sin x >  2x . （二）一年级《数学分析》考试题 一、（满分 10 分，每小题 2 分）判断题： 1、无界数列必发散； （ ） 2、若对  >0，函数 f 在[ a +  ,b −  ]上连续，则 f 在开区间（ a,b ）内连续； （ ） 3、初等函数在有定义的点是可导的； （ ） 4、 f =  ，若函数  在点 0 x 可导，  在点 0 x 不可导，则函数 f 在点 0 x 必不可导 ； （ ） 5、设函数 f 在闭区间[ a,b ]上连续，在开区间（ a,b ）内可导，但 f (x)  f (b) ，则 对 x  (a,b) ，有 ( ) 0 ' f x  ； （ ） 二、（满分 20 分，每小题 4 分）填空题 ： 1、 2 10 2 6 8 ( 2 1) ( 2) (2 1) lim + + − → n n n n ＝ ； 2、曲线 y = x ln x 的所有切线中，与直线 x + 2y − 2 = 0 垂直的切线是 ； 3、 ln( 1 ) 2 y = x + + x ， = dx dy ； 4、函数 f (x) 二阶可导， f ( x) y = e ， 则 = 2 2 dx d y ； 5、把函数 2 ( ) x f x e − = 展开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 ， f (x) = ； 三、（满分 30 分，每小题 6 分）计算题: 1、 x e x x x x x ( 1)lim 3 4 ln(1 ) 2 lim 2 2 0 − + + − → ； 2、 f (x 0 ) = 0, f ' (x 0 ) = 3, 求 x f x x x  −   → ( 2 ) lim 0 0 ； 3、 x x x x x x y cos sin sin cos + − = ， 求 dy ； 4、 y x sin x 2 = ， 求 (80) y ；

四、(满分40分,每小题8分)证明题 1、设函数f(x)在区间I上满足 Lipschitz条件:丑L>0,x1,x2∈I, 有f(x)-f(x2)≤Lx-x2|,证明∫在区间I上一致连续 2、证明函数f(x)=1x-1在点x=1不可导; 3、设函数f(x)在R内连续且mf(x)=+∞,试证明f(x)在R有最小值 4、设0<a<b,f(x)在[a,b]上可导,在(a,b)内可导,证明彐∈(a,b),使得 2{(b)-fa)]=(b2-a2)f(5): 5、设函数∫和g可导且∫≠0,又 f(x)g(x) =0,证明g(x)=cf(x),其中C为 f(x)g(x 常数 (三)一年级《数学分析》考试题 对错判断题: 1、设{xnn}为两个数列,若xn>yn(n=1、2、…)则lmxn>myn;() 2、若函数f(x)以A为极限,则∫(x)可表为f(x)=A+o(1);() 3、设∫(x)定义于[a,b]上,若∫(x)取遍∫(a)与∫(b)之间的任意值,则f(x)比在 [a,b]上连续; 4、若f(x)在[a+∞)连续,且lmnf(x)存在,则f(x)在[+∞)有界;( 5、若y=∫(x)的导数∫(x)在[a,b]上连续,则必存在常数L,使 f(x)-f(x2)≤Lx1-x2|,yx1,x2∈[ab 6、①当x→>0时,o(xm)+o(x")=o(xm)(m>n>0) ②n→0(→∞)an→0(n→∞) 7、若∫(x)和g(x)在x0点都不可导,则f(x)+g(x)在x0点也不可导

5、 2 1 0 ) lim lim ( x x x x → ； 四、（满分 40 分，每小题 8 分）证明题： 1、设函数 f (x) 在区间Ⅰ上满足 Lipschitz 条件： L >0，x1 , x2  Ⅰ， 有 ( ) ( ) 1 2 f x − f x 1 2  L x − x ，证明 f 在区间Ⅰ上一致连续； 2、证明函数 f (x) = x −1 在点 x =1 不可导 ； 3、设函数 f (x) 在 R 内连续且 = + → lim f (x) x ，试证明 f (x) 在 R 有最小值； 4、设 0 < a < b ， f (x) 在[ a,b ]上可导，在（ a,b ）内可导，证明  (a,b) ，使得 2  ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 '  f b − f a = b − a f  ； 5、设函数 f 和 g 可导且 f  0 ，又 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' = f x g x f x g x ，证明 g(x) = cf (x) ，其中 c 为 常数. （三）一年级《数学分析》考试题 一 对错判断题： 1、设 xn ,yn  为两个数列，若 n n x  y （ n =1、2、 ）则 n n n n x y → → lim  lim ；（ ） 2、若函数 f (x) 以 A 为极限，则 f (x) 可表为 f (x) = A + o(1) ； （ ） 3、设 f (x) 定义于[ a,b ]上，若 f (x) 取遍 f (a) 与 f (b) 之间的任意值，则 f (x) 比在 [ a,b ]上连续； （ ） 4、若 f (x) 在 a,+) 连续，且 lim f (x) x→+ 存在，则 f (x) 在 a,+) 有界;（ ） 5、若 y = f (x) 的导数 ( ) ' f x 在[ a,b ]上连续，则必存在常数 L,使 1 2 1 2 f (x ) − f (x )  L x − x ， x , x a,b  1 2  ； （ ） 6、① 当 x →0 时， ( ) ( ) ( ) (m  n  0) m n m n o x o x o x + + = ； （ ） ② 0 (n ) a 0 (n ) an → →  n → → ； （ ） 7、若 f (x) 和 g(x) 在 0 x 点都不可导，则 f (x) + g(x) 在 0 x 点也不可导;

f(x)为I上凸函数的充要条件为,对I上任意三点x1<x2<x3有: () 9、若f(x)在x0二阶可导,则(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点的 充要条件为f(x0)=0 10、若S为无上界的数集,则存在一个递增数列{xn}cS,使得 二单项选择题: 设f(x) ≠0在x=0处连续,则k=( k 0 x<0 2、设f(x)={1 x=1当x=0是不连续是因为 A.f(x)在x=0无定义 B.limf(x)不存在 C.limf(x)≠f(0) D.左,右极限不相等 3、设f(x)=(x-a)p(x),其中(x)在x=a处连续但不可导,则f(a)=() A.不存在B.q(a) C. (a) D. -o(a) 4、当很小时,下列近似公式正确的是 B.hnx≈x +X≈1+x D.Smx≈X 5、若f(x)和g(x)对于区间(a,b)内每一点都有∫(x)=g(x),在(a,b) 内有 A. f(x)=g(x) B.f(x)=c1,g(x)=C2,(c1,c2为常数) D.f(x)=cg(x)(c为任意常数)D.f(x)=g(x)+c(c为任意常数)

（ ） 8、 f (x) 为Ⅰ上凸函数的充要条件为，对Ⅰ上任意三点 1 2 3 x  x  x 有： 3 1 3 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x f x x x f x f x − −  − − （ ） 9、若 f (x) 在 0 x 二阶可导，则（ ( ) 0 0 x , f x ）为曲线 y = f (x) 的拐点的 充要条件为 ( 0 ) 0 '' f x = ； （ ） 10、若 S 为无上界的数集，则存在一个递增数列 xn  S ,使得 x   , (n → ) n ； （ ） 二 单项选择题： 1、设 f (x) =     = −  , 0 (1 ) , 0 1 k x x x x 在 x = 0 处连续， 则 k = （ ） A. 1 B. e C. e 1 D. －1 2、设 f (x) =      = x 0 1 x 1 0 2   x x x 当 x = 0 是不连续是因为 （ ） A. f (x) 在 x = 0 无定义 B. lim ( ) 0 f x x→ 不存在 C. lim ( ) (0) 0 f x f x  → D.左，右极限不相等 3、设 f (x) = (x − a)(x) ，其中 (x) 在 x = a 处连续但不可导，则 ( ) = ' f a （ ） A. 不存在 B. ( ) '  a C.  (a) D. － ( ) '  a 4、当 x 很小时，下列近似公式正确的是 （ ） A. e x x  B. ln x  x C. x x n 1+  1+ D. sin x  x 5、若 f (x) 和 g(x) 对于区间（ a,b ）内每一点都有 ( ) ( ) ' ' f x = g x ，在（ a,b ） 内有 （ ） A. f (x) = g(x) B. f (x) = c1 , g(x) = c2 ,（ c1 , c2为常数） D. f (x) = cg(x) （c 为任意常数） D. f (x) = g(x) + c （c 为任意常数）