第四章函数的连续性 §1连续性的概念 内容: 1函数在点0的连续性 2间断点及其的分类 3区间上的连续函数的性质 重点:函数在点x的连续性 难点:连续、一致连续的证明 要求:理解连续的定义,间断点的分类,会用 用定义证明函数的连续性。 下页
§1 连续性的概念 内容： 1 函数在点 的连续性 2 间断点及其的分类 3 区间上的连续函数的性质 重点：函数在点 的连续性 难点：连续、一致连续的证明 要求：理解连续的定义，间断点的分类，会用 用定义证明函数的连续性。 0 x 0 x 第四章 函数的连续性 下页
函数在一点x0的连续 先回顾一下函数在x0点的极限Imf(x)=A x→ 设函数f(x)在x0的某个空心邻域内有定义,A是一个确定的 数,若对VE>0,3δ>0,当0<x-x|<δ时,都有 f(x)-4|<E,则称∫(x)在x→>x时,以A为极限。 这里f(x0)可以有三种情况 sin( x 1)f(x)无定义,比如上章讲过的特殊极限lm Xo →x0x-x 下页
一 函数在一点 0 x 的连续 先回顾一下函数在 0 x 点的极限 f x A x x = → lim ( ) 0 设函数 f (x)在 0 x 的某个空心邻域内有定义， A 是一个确定的 数，若对 0 , 0 ，当 0 | − | 0 x x 时，都有 | f (x) − A| ，则称 f (x)在 0 x → x 时，以 A为极限。 这里 ( ) 0 f x 可以有三种情况 1） ( ) 0 f x 无定义，比如上章讲过的特殊极限 1 sin( ) lim 0 0 0 = − − → x x x x x x 下页
x≠x 2)f(x0)≠A,比如f(x)= x+1.x=x imf(x)=x0≠f(x0) x→>x0 x x 3)f(x0)=A Xo 下页
2） f (x0 ) A，比如 + = = 0 0 1 , , ( ) x x x x x x f x ， lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x x = → 3） f (x0 ) = A 0 x 0 x 0 x 下页
对1,2两种情况,曲线在x。处都出现了间断;第3种情况与 前两种情况不同,曲线在x处连绵不断,我们称这种情况为,f(x)在 xn处连续。 定义1设函数f(x)在x0的某邻域内有定义,若 lim f(x)=f(o) (2) x→>x0 则称函数f(x)在x0点连续。 例如函数f(x)=2x+1在点x=2连续,因为 imf(x)=li(2x+2)=5=f(2) x→>2 x→)2 下页
对 1，2 两种情况，曲线在 0 x 处都出现了间断; 第 3 种情况与 前两种情况不同，曲线在 0 x 处连绵不断，我们称这种情况为，f (x) 在 0 x 处连续。 定义 1 设函数 f (x)在 0 x 的某邻域内有定义，若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → (2) 则称函数 f (x)在 0 x 点连续。 例如 函数 f (x) = 2x + 1在点 x = 2 连续，因为 lim ( ) lim (2 2) 5 (2) 2 2 f x x f x x = + = = → → 下页
lim f(x)=lim x sin 若记Δx=x-x,y=f(x)-f(x0)则lif(x)=f(xo)可等价 的叙述为m△y=0,于是函数f(x)在x点连续的定义又可以叙述 x→)△x 为 定义1(2)设函数f(x)在x0的某邻域内有定义,若 lim△y=0 x→)△x 则称f(x)在x点连续。 另外,由于函数f(x)在x0点连续是用极限形式表述的,若将 imf(x)=f(x)改用E-δ语言叙述,则f(x)在x点连续又可以定义 x→>x0 为: 下页
0 (0) 1 lim ( ) lim sin 0 0 f x f x x x x = = = → → 若记 , ( ) ( ) 0 0 x = x − x y = f x − f x 则 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 可等价 的叙述为 lim = 0 → y x x ，于是函数 f (x)在 0 x 点连续的定义又可以叙述 为 定义 1（2） 设函数 f (x)在 0 x 的某邻域内有定义，若 lim = 0 → y x x 则称 f (x)在 0 x 点连续。 另外，由于函数 f (x)在 0 x 点连续是用极限形式表述的，若将 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 改用 − 语言叙述，则 f (x)在 0 x 点连续又可以定义 为： 下页