i)若存在N,n≥N时有≤q<1,则级数∑u,收敛(注意 ≤q<1不能换为<1) i)若存在N,n≥N时有≥1,则级数∑un发散。 证i)不妨设n≥1时就有 q<1成立,有 ≤q,≤q,…,n≤q,…依次相乘 H,即 n-G,an-I 0 由0≤q 得∑q<+ 2021/2/24 16
2021/2/24 16 i) 若存在 N, n N 时 有 1 1 + q u u n n ，则级数 n=1 n u 收 敛(注 意 1 1 + q u u n n 不能换为 1 1 + n n u u ) ii) 若存在 N, n N 时有 1 1 + n n u u ，则级数 n=1 un 发散。 证 i) 不妨设 n 1 时就有 1 1 + q u u n n 成立 , 有 , , , , 2 1 3 1 2 q u u q u u q u u n n − 依次相乘 , 1 1 − n n q u u , 即 1 1 − n un u q . 由 0 q 1 , 得 n q + , n u +
i)可见{n}往后递增,→un0,(n→>∞) 推论1有正项级数∑un且lm2m址=1 i)若1<1则级数∑un收敛 ii) 或 ∑ (证) 定理8(柯西判别法或根式判别法)有正项级数∑un i)若存在N,n≥N时有n≤q<1,则级数∑vn收敛(注意{nsq<l 不能换为 2021/2/24 17
2021/2/24 17 ii) 可见{ } un 往后递增 , → 0 , un ( n → ) . 推论 1 有正项级数 n=1 un 且 l u u n n n = + → 1 lim i） 若 l 1 则级数 n=1 un 收敛 ii） l 1 或l = + , un = + . ( 证 ) 定理 8 （柯西判别法或根式判别法）有正项级数 n=1 un i)若存在 N, n N 时有 n un q 1 ，则级数 n=1 un 收 敛(注意 n un q 1 不能换为 n un 1 )