第三章函数极限 数学要求 1理解函数极限的“E-6”,“E-M定义 及单侧极限概念; 2掌握函数极限的基本性质及两个重 要极限; 3理解广义极限、无穷大量及无穷小 量等概念
教学要求 1 理解函数极限的“ε-δ”，“ε-M”定义 及单侧极限概念； 2 掌握函数极限的基本性质及两个重 要极限； 3 理解广义极限、无穷大量及无穷小 量等概念。 第三章 函数极限
§1函数极限概念 x趋于∞时函数的极限 设函数∫定义在[+∞)上,类似于数列情形,我们研究当自变量x趋于+∞时, 对应的函数值能否无限地接近于某个定数A。例如,对于函数f(x) 我们用 Matlab画出它的图像 x=5:50;y=1./x;plot(x,y,’r), axis([5,55,0,0.22]) 当x无限增大时,函数值无 限地接近于0;
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 §1 函数极限概念 一 x 趋于时函数的极限 设函数 f 定义在a,+ )上，类似于数列情形，我们研究当自变量 x 趋于+ 时， 对应的函数值能否无限地接近于某个定数 A。例如，对于函数 ( ) x f x 1 = 我们用 Matlab 画出它的图像 x=5:50; y=1./x;plot(x,y,'r'), axis([5,55,0,0.22]) 当 x 无限增大时，函数值无 限地接近于 0；
而对于函数g(x)= arctan x,则当x趋于+∞时函数值无限地接近于。我们 称这两个函数当x→+∞时有极限
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 而对于函数 g(x) = arctan x ，则当 x 趋于+ 时函数值无限地接近于 2 。我们 称这两个函数当 x → +时有极限
般地,当x趋于+∞时函数极限的精确定义如下: 定义1设厂定义在[+∞)上的函数,A为定数。若对任给的>0,存在正 数M2a),使得当x>M时有(x)-4<E,则称函数f当x趋于+0时以A为极 限,记作mnf(x)=A或f()→A(x→+∞o)。 x→+00 在定义1中正数M的作用与数列极限定义中N的相类似,表明x充分大的程 度;但这里所考虑的是比M大的所有实数x,而不仅仅是正整数n。因此,当x趋 于+时函数f以A为极限意味着:A的任意小邻域内必含有∫在+∞的某邻域内 的全部函数值
一般地，当 x 趋于+ 时函数极限的精确定义如下： 定义 1 设 f 定义在a,+ )上的函数， A为定数。若对任给的 0，存在正 数 M ( a)，使得当 x M 时有 f (x) − A ，则称函数 f 当 x 趋于+ 时以 A为极 限，记作 f (x) A x = →+ lim 或 f (x) → A (x → + )。 在定义 1 中正数 M 的作用与数列极限定义中 N 的相类似，表明 x 充分大的程 度；但这里所考虑的是比 M 大的所有实数 x ，而不仅仅是正整数n 。因此，当 x 趋 于+ 时函数 f 以 A为极限意味着：A的任意小邻域内必含有 f 在+ 的某邻域内 的全部函数值
定义1的几何意义如下图所示, 对任给的E>0,在坐标平面上平行于x轴的两条直线y=A+E与y=A-E,围 成以直线y=A为中心线、宽为2E的带形区域;定义中的“当x>M时有 J()4<"表示:在直线x=M的右方,曲线y=/(x)全部落在这个带形区 域之内。如果正数￡给的小一点,即当带形区域更窄一点,那么直线
M 定义 1 的几何意义如下图所示， 对任给的 0，在坐标平面上平行于 x 轴的两条直线 y = A + 与 y = A − ，围 成以直线 y = A为中心线、宽为 2 的带形区域；定义中的“当 x M 时有 f (x)− A ”表示：在直 线 x = M 的右方，曲线 y = f (x)全部落在这个带形区 域之内。如果正数 给的小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线