第十三章函数列与函数项级数 函数列及其一致收敛性 对定义在区间I上的函数列{fn(x)},x∈E,设x0∈E,若数列{f(x)}收 敛,则称函数列Gfn(x)}在点x收敛,x称为函数列{(x)}收敛点;若数列 n(x)}发散,则称函数列{fn(x)}在点x0发散。 使函数列Gn(x)}收敛的全体收敛点集合称为函数列f(x)}收敛域(注 意定义域与收敛域的区别)。 若函数列f(x)}在数集DcE上每一点都收敛,则称函数列{(x)}在数 集D上收敛,这时D上每一点x,都有函数列的一个极限值 n→) 2021/2/24
2021/2/24 1 第十三章 函数列与函数项级数 一 函数列及其一致收敛性 对定义在区间 I 上的函数列{ f n (x) }, x E ，设 x0 E ，若数列 { ( ) } 0 f x n 收 敛，则称函数列{ f (x) } n 在点 0 x 收敛， 0 x 称为函数列{ f (x) } n 收敛点；若数列 { ( ) } 0 f x n 发散，则称函数列{ f (x) } n 在点 0 x 发散。 使函数列{ f (x) } n 收敛的全体收敛点集合称为函数列{ f (x) } n 收敛域（ 注 意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列{ f (x) } n 在数集D E 上每一点都收敛，则称函数列{ f (x) } n 在数 集 D 上收敛，这时 D 上每一点x，都有函数列的一个极限值 lim f (x) f (x) n n = →
与之对应,由这个对应关系所确定的函数,称为函数列fn(x)}的极限函数。 逐点收敛(或称为“点态收敛”)的“-N”定义 例1对定义在(-∞,+∞)内的等比函数列f(x)=x",用“g-N”定义 验证其收敛域为(-1,1],且 imfn(x)=imr。∫0,1x|<1 n→0 n→a 例2f(x)=m.用“s-N”定义验证在(-∞,+∞)内imf(x)=0 n 函数列的一致收敛性: 设函数列{f(x)}在E上收敛于f(x),若对任意的ε>0,存在自然数 N=N(),当n>N时,对E中一切x都有 2021/2/24
2021/2/24 2 与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列{ f (x) } n 的极限函数。 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ − N ”定义. 例 1 对定义在( − , + ) 内的等比函数列 f (x) n = n x , 用“ − N ”定义 验证其收敛域为( −1,1], 且 n→ lim f (x) n = n→ lim n x = = 1, 1. 0 , | | 1, x x 例 2 f (x) n = n sin nx . 用“ − N ”定义验证在( − , + ) 内n→ lim f (x) n = 0 . 函数列的一致收敛性： 设函数列 { f (x)} n 在 E 上收敛于 f (x)，若对任意的 0 ，存在自然数 N = N( )，当 n N 时，对 E 中一切 x都有
Ifn(x)-f(x)<E 则称函数列{(x)在E上一致收敛于f(x) 注意这里的N只与E有关,与x无关,这一点是一致收敛与逐点收 敛的本质区别。 致收敛的几何意义 对任给的g-带{(x,y);|y-f(x)kg},总存在一个N,n>N时,f(x)的图 形全部落入这个6-带内。 致收敛情况图示 2021/2/24
2021/2/24 3 f (x) − f (x) n 则称函数列{ f (x)} n 在 E 上一致收敛于 f (x)。 注意 这里的 N 只与 有关，与 x 无关，这一点是一致收敛与逐点收 敛的本质区别。 一致收敛的几何意义 对任给的 -带 { (x, y) ; | y − f (x) | }，总存在一个 N，n N 时， f (x) n 的图 形全部落入这个 -带内。 一致收敛情况图示
对任意E>0,n充分大时,f(x)将全部落入E一带以内。 f(x)}收敛但不一致收敛的几何意义 对任意x∈D,imf(x)=f(x),但存在一个s0>0,对任意的N,都可 找到一个n,尽管n>N,但fn(x)总有一部分落在6带以外。 2021/2/24
2021/2/24 4 对任意 0，n 充分大时， f (x) n 将全部落入 －带以内。 { f (x)} n 收敛但不一致收敛的几何意义： 对任意 x D， lim f (x) f (x) n n = → ，但存在一个 0 0 ，对任意的 N，都可 找到一个 0 n ，尽管 n0 N ，但 ( ) 0 f x n 总有一部分落在 0 带以外。 f(x) fn(x)
例证明函数列f(x) nx 在[.上收敛但不一致收敛 1+n 证明1)函数列在[0,上收敛。 显然对任意的x∈0 →)0 +nx 2)但f(x)不一致收敛于0 2021/2/24 5
2021/2/24 5 例 证明函数列 2 2 1 ( ) n x nx f x n + = 在 [0, 1] 上收敛但不一致收敛 证明 1）函数列在 [0, 1] 上收敛。 显然 对任意的x [0,1] ， ( ) 0 1 2 → + = nx n f x n n 2）但 f (x) n 不一致收敛于 0 f(x) fn(x)