第十章 定积分的应用 §1平面图形的面积 教学内容:平面图形面积的计算 教学目的:理解定积分的意义; 学会、掌握微元法处理问题的基本思想 熟记平面图形面积的计算公式 直角坐标系下平面图形的面积: 由定积分的几何意义,连续曲线y=f(x)(≥0与直 线x=a,x=b(b>a),x轴所围成 的曲边梯形的面积为 A= f(x)dx 若y=f(x)在[a,b上不都是非负的
第 十 章 定 积 分 的 应 用 §1 平 面 图 形 的 面 积 教学内容：平面图形面积的计算 教学目的： 理解定积分的意义； 学会、掌握微元法处理问题的基本思想 熟记平面图形面积的计算公式。 直角坐标系下平面图形的面积 ： 由定积分的几何意义，连续曲线 y = f (x) ( 0) 与直 线 x = a , x = b (b a) , x 轴所围成 的曲边梯形的面积为 = b a A f (x)dx 若 y = f (x) 在 [a, b]上不都是非负的， b
A f(x)ldx 般的,有两条连续曲线y1=f1(x),y2=f2(x)及直线 x=a,x=b(b>a)所围成的平面图形的面积为 A=L2(x)-f,(x)]dx A=[g2()-g, ()]dy 简单图形:X-型和Y-型平面图形 简单图形的面积:给出X-型和Y-型平面图形的面积公式.对
= b a A | f (x) | dx 一般的，有两条连续曲线 ( ) , ( ) 1 1 2 2 y = f x y = f x 及直线 x = a , x = b (b a) 所围成的平面图形的面积为 = − b a A [ f (x) f (x)]dx 2 1 = − d c A [g (y) g (y)]dy 2 1 1． 简单图形： X − 型和Y −型平面图形 . 2 简单图形的面积 : 给出 X − 型和Y −型平面图形的面积公式. 对
由曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0围成的所谓“两线型”图形,介 绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.(参阅[4]P232—240E86-93) 例1求抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围的平面图形的 面积
1． 由曲线 F(x, y) = 0 和 G(x, y) = 0 围成的所谓“两线型”图形, 介 绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算. ( 参阅[4]P232—240 E86—93 ) 例 1 求抛物线 y = x 2 与直线 x − 2y − 3 = 0 所围的平面图形的 面积. -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3 -2 -1 0 1 2 3
所给的区域不是一个规范的x区域,如图需将其切成两块,即可化 成x-形区域的面积问题 第一块的面积等于 int(2*sqrt(x)’,’x,0,1) ans =4/3 A=[x-(-√x)x=2 第二块的面积等于 int(sqrt(x)-(x-3)/2,x,1,9) ans 28/3 28/3+4/3 ans 10.6667
所给的区域不是一个规范的 x-区域, 如图需将其切成两块, 即可化 成 x-形区域的面积问题 第一块的面积等于 int('2*sqrt(x)','x',0,1) ans = 4/3 3 4 [ ( )] 2 1 0 1 0 1 = − − = = A x x dx xdx 第二块的面积等于 int('sqrt(x)-(x-3)/2','x',1,9) ans = 28/3 28/3+4/3 ans = 10.6667
28 )dx 总面积 A=A1+A2=10 3 我们也可以把图形看成y-形区域计算其面积 int(’-y2+2*y+3’,y ans=32/3 例2求由曲线xy=1,x-y=0,x=2围成的平面图形的面积 例3求由抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围平面图形的面积 参数方程下曲边梯形的面积公式:设区间[a,b上的曲边梯形的曲 边由方程.由参量方程表示x=x(),y=y(t)a≤t≤B
= − = − 9 1 2 3 28 ) 2 3 ( dx x A x 总面积 3 2 A = A1 + A2 = 10 我们也可以把图形看成 y-形区域计算其面积 int('-y^2+2*y+3','y',-1,3) ans = 32/3 例 2 求由曲线 x y = 1, x − y = 0, x = 2 围成的平面图形的面积. 例 3 求由抛物线 y = x 2 与直线 x − 2y − 3 = 0所围平面图形的面积. 1． 参数方程下曲边梯形的面积公式： 设区间[a,b]上的曲边梯形的曲 边由方程.由参量方程表示 x = x(t) , y = y(t) t