第八章不定积分 合教学目标: 1掌握原函数与不定积分概念; 2掌握基本积分方法 分部积分法、换元积分法、有理 函数积分法、三角函数有理式的 积分、几种无理函数的积分
1 掌握原函数与不定积分概念； 2 掌握基本积分方法 分部积分 法、换元积分法、有理 函数积分法、三角函数有理式的 积分、几种无理函数的积分。 教学目标： 第八章 不定积分
§1不定积分的概念 原函数与不定积分 前面我们学习了导数与微分,由已知函数利用基本求导公式和求 导法则可以求出它的导数,那自然会想到:求导运算能否和数的四则 运算那样,知道了∫(x)导数反过来就能求出f(x)?比如知道了物体 的运动速度,求路程,知道了加速度求速度? 例1一个静止的物体,其质量为m在力F= Asin t的作用下沿 直线运动,求物体的运动速度。 解由牛顿第二定理a F a sin t即 dy f asin t dt 这就归结为已知立求p,由求导运算
一 原函数与不定积分 前面我们学习了导数与微分，由已知函数利用基本求导公式和求 导法则可以求出它的导数，那自然会想到：求导运算能否和数的四则 运算那样，知道了 f (x) 导数反过来就能求出 f (x)？比如知道了物体 的运动速度，求路程，知道了加速度求速度？ 例 1 一个静止的物体，其质量为 m 在力 F = Asin t 的作用下沿 直线运动，求物体的运动速度。 解 由牛顿第二定理 A t m F a = = sin 即 m A t m F d t d v sin = = 这就归结为已知 dt dv 求 v ， 由求导运算 §1 不定积分的概念
a sin t (-coSt+C) 得 cost+C,其中C为待定常数,若初始时刻是静止的 v(0)=0 0=v(0) cos0+C→C 从而得 cost 我们称这类由∫(x)求f(x)的运算为积分法 定义(原函数)如果在区间I上F(x)=f(x),则称F(x)为 f(x)在区间I上的原函数
m A t t C m A sin (− cos + ) = 得 t C m A v = − cos + ， 其中 C 为待定常数，若初始时刻是静止的 v(0) = 0 m A C C m A 0 = v(0) = − cos0 + = ， 从而 得 m A t m A v = − cos + 我们称这类由 f (x) 求 f (x) 的运算为积分法 定义（原函数） 如果在区间 I 上 F(x) = f (x)，则称 F(x) 为 f (x)在区间 I 上的原函数
例如例中的-cost+C是snt的原函数 2+C是x(a≠-1)的原函数,等等 因为常数导数为零,所以如果f(x)的原函数F(x)存在,则对任 意常数C,F(x)+C都是f(x)的原函数。这就是说,原函数存在的话, 它有无限多个。而且容易证明,f(x)的任意两个原函数之间相差一个 常数。换句话说f(x)的原函数的全体为{F(x)+C},C为任意常数 定义(不定积分)f(x)在区间I上原函数的全体称为f(x)在I 上的不定积分。记作∫f(x)。其中∫为积分号,f(x)为积分
例如例 1 中的 t C m A − cos + 是 t m A sin 的原函数； C x + + + 1 1 是 ( −1) x 的原函数，等等 因为常数导数为零，所以如果 f (x) 的原函数 F(x)存在，则对任 意常数 C，F(x) + C 都是 f (x)的原函数。这就是说，原函数存在的话， 它有无限多个。而且容易证明， f (x)的任意两个原函数之间相差一个 常数。换句话说 f (x)的原函数的全体为 { F(x) + C }，C 为任意常数。 定义（不定积分） f (x) 在区间 I 上原函数的全体称为 f (x)在 I 上的不定积分。记作 f (x)dx 。 其中 为积分号， f (x)为积分
函数,x为积分变量。 不定积分的几何意义 F(×)+C F(×) 个函数的原函数尽管有无限多个,但它们的几何图形是一模 样的,最多是在坐标系中的高低位置不一样,相差一个上下平移 关系
函数， x 为积分变量。 不定积分的几何意义 一个函数的原函数尽管有无限多个, 但它们的几何图形是一模 一样的, 最多是在坐标系中的高低位置不一样, 相差一个上下平移 关系， F(x)+C F(x)