根据定理1,取p=1,有|Sn1-Sn}=ln<E,于是有下面结论 推论1,级数∑l1n收敛的必要条件为Imn=0 本推论可以方便的用来判断级数发散。注意这只是级数收敛的必要条件, 不是充分条件 例5讨论调和级数1+ 的敛散性 调和级数显然满足推论1,mwn=0,但,若取P=m llm1+ln+…+l 2m 2m 由柯西准则,调和级数发散。 例6证明级数 收敛 2021/2/24 6
2021/2/24 6 根据定理 1，取 p = 1，有 − = n+ n n | S S | u 1 ，于是有下面结论： 推论 1， 级数 n=1 n u 收敛的必要条件为 lim = 0 → n n u 本推论可以方便的用来判断级数发散。 注意这只是级数收敛的必要条件， 不是充分条件。 例 5 讨论调和级数 + + ++ + n 1 3 1 2 1 1 的敛散性。 调和级数显然满足推论 1，lim = 0 → n n u ，但，若取 p = m 2 1 | 2 1 2 1 2 1 | | | +1 + +2 + + 2 + + + = m m m u u u m m m 由柯西准则，调和级数发散。 例 6 证明级数 =1 2 1 n n 收敛
证显然满足收敛的必要条件.令 ,则当n≥2时有 l+…+l +k)2 (n+k-1)n+k) P 由定理1,级数收敛与否,仅与充分远的项有关,与前面项的大小无关,因 此级数有如下性质: 推论2去掉、增加或改变级数∑un的有限项,不影响级数的敛散性。 定理2(线性性质)若级数∑un和∑vn收敛,其和分别为 则级 数∑(an+B,)也收敛,其和为S+BS 2021/2/24 7
2021/2/24 7 证 显然满足收敛的必要条件. 令 2 1 n un = , 则当 n 2 时有 = + + + + + + + = p k n n n p n k u u u 1 1 2 2 ( ) 1 | | , 1 1 1 ( 1)( ) 1 1 n k n k n n p n p k + = − + − + = 由定理 1，级数收敛与否，仅与充分远的项有关，与前面项的大小无关，因 此级数有如下性质： 推论 2 去掉、增加或改变级数 n=1 n u 的有限项，不影响级数的敛散性。 定理 2（线性性质）若级数 n=1 un 和 n=1 n v 收敛，其和分别为 1 2 S , S ，则级 数 ( ) 1 n n n u + v = 也收敛，其和为 1 2 S + S
定理3若级数收敛,其和为,则可对该级数任意加括号,不改变其收敛 性,也不改变其和。 注意发散级数,加括号不可以随意加括号,否则会改变其敛散性 例:级数∑(-1)发散,但加括号后:(1-1)+(1-1)+ 例7判断级数∑nsi的敛散性 验证un0.级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件) 1)级数与数列的关系: 对应部分和数列 收敛e{S}收敛 2021/2/24 8
2021/2/24 8 定理 3 若级数收敛，其和为S ，则可对该级数任意加括号，不改变其收敛 性，也不改变其和。 注意发散级数，加括号不可以随意加括号，否则会改变其敛散性。 例：级数 = − 0 ( 1) n n 发散，但加括号后: (1−1) + (1−1) + → 0 例 7 判断级数 =1 1 sin n n n 的敛散性. ( 验证 un → 0 . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件 ) 1） 级数与数列的关系 : un 对应部分和数列Sn , un 收敛 Sn 收敛;
对每个数列{x1},对应级数x+∑(xn-xn),对该级数,有S=x于是, 数列{xn}收敛台级数x+∑(xn-xn)收敛 可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式 2021/2/24 9
2021/2/24 9 对每个数列{ }n x , 对应级数 = + − − 2 1 1 ( ) n n n x x x , 对该级数, 有 n n S x = .于是, 数列{ n x }收敛 级数 = + − − 2 1 1 ( ) n n n x x x 收敛. 可见 , 级数与数列是同一问题的两种不同形式
§2正项级数 要求:掌握正项级数敛散性判断方法 重点:比较判别法,比值判别法,根式判别法 正项级数收敛性的一般判别原则 显然正项级数的部分和数列是单调递增的,由单调有界定理,正项级数收敛 的充分必要条件是 定理5正项级数∑n收敛它的部分和数列S有上界 例 2021/2/24 10
2021/2/24 10 § 2 正项级数 要求: 掌握正项级数敛散性判断方法 重点：比较判别法, 比值判别法, 根式判别法 一 正项级数收敛性的一般判别原则 显然正项级数的部分和数列是单调递增的，由单调有界定理，正项级数收敛 的充分必要条件是： 定理 5 正项级数 n=1 n u 收敛 它的部分和数列{ }n S 有上界。 例 =1 ! 1 n n