设九一矩阵A(2)的秩为r,对于正整数k,1≤k≤r, A(2)中必有非零的k级子式，A(2)中全部k级子式 的首项系数为1的最大公因式Ds(2),称为A(2)的 k阶行列式因子 注：若秩(A(见)=r,则A()有r个行列式因子. 2006-12-1
2006-12-1 k 阶行列式因子. 的首项系数为1的最大公因式 称为 的 ( ), Dk λ A( ) λ A( ) λ 中必有非零的 级子式， 中全部 级子式 k k A( ) λ 设 －矩阵 的秩为 ，对于正整数 ， λ A( ) λ r k 1 , ≤ k r ≤ 注：若 秩 ，则 有 个行列式因子 ( ) A( ) λ = r A( ) λ r
本讲主要内容 ·入一矩阵的概念 若当(Jordan)标准形 ■欧式空间 2006-12-1
2006-12-1 本讲主要内容 λ－矩阵的概念 若当(Jordan)标准形 欧式空间
定理：设T是复数域C上的线性空间V,的线性变换， 任取V,的一组基，T在该基下的矩阵为A,T的特征 多项式(2)=(2-2)"(-2，)".(2-)”(m+m++m 则V,可分解为不变子空间的直和 Vn=N⊕N2⊕.⊕W 其中N=x|(T-T)"x=0,x∈"是线性变换的核空间。 若给每个子空间N,选一组基，它们的并构成V,的基， 且T在该组基下的矩阵为如下形式的对角块矩阵 J(2) 1：.0 J- J2) 其中J()= 03 ·.0 J,() 00 .2 2006-12-1
2006-12-1 定理：设T是复数域C上的线性空间Vn的线性变换， 任取Vn的一组基， T在该基下的矩阵为A， T的特征 多项式 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 2 12 mm ms ϕ λ λλ λλ λλ = − − − + ++ " " s mm ms 则Vn可分解为不变子空间的直和 VNN N n s = 1 2 ⊕ ⊕⊕" 其中 是线性变换 的核空间。 { } |( ) 0, mi n N xT T x xV i ie = − =∈ λ 若给每个子空间Ni选一组基，它们的并构成Vn 的基， 且T在该组基下的矩阵为如下形式的对角块矩阵 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) s s J J J J λ λ λ = % 1 0 0 0 ( ) 1 0 0 i i i i i J λ λ λ λ = " % # #% " 其中
定义：在上面的定义中J称为矩阵A的Jordan标准形， J(2)为(2-2)%对应的Jordan块。 )100 如 1 都是若当块 而下面的准对角形则是一个若当形矩阵： 1100 0 0 J(1,2) 01000 0 0040 0 0 J(4,1) 000 -i 1 0 000 0 -i 1 J(-i,3) 000 0 0 2006-12-1
2006-12-1 定义:在上面的定义中J称为矩阵A的Jordan 标准形， ( ) i i J λ 为 对应的 ( ) λ λ− iI mi Jordan 块。 如： ( ) 0100 210 0010 1 021, , 0001 0 002 0000 i i 都是若当块； 1 1 0 0 0 0 (1, 2) 010 0 0 0 0 0 4 0 0 0 (4,1) 000 1 0 0 0 0 0 1 ( ,3) 000 0 0 J J i i Ji i = − − − − 而下面的准对角形则是一个若当形矩阵
定理：设矩阵A为复数域C的矩阵，特征多项式的分解 p(2)=21-A=(2-)m(2-2).(2-元)m 存在，则存在非奇异矩阵P使得P-AP=J -110 110 例如： A= 430 的Jordan标准型为J= 01 102 00 02 2006-12-1
2006-12-1 定理：设矩阵A为复数域C的矩阵， 特征多项式的分解 ( ) 1 2 1 2 ( )( ) ( ) m m ms s ϕ λλ λ =− − λ λ I A− = − λλ λ " 存在，则存在非奇异矩阵P 使得 1 P AP J − = 例如： 的Jordan标准型为 110 4 30 1 02 A − = 110 010 002 J =