(2)若将方程改写为x=x3-1 建立迭代公式 k+1 k k 0 2 k 1.52.37512.39 迭代不收敛 如何选取合适的迭代函数?下面介绍 个迭代法的收敛定理
3 3 1 k 2 1 1. k 0 1 2 x 1.5 2.375 12.39 k k x x x x + = − = − （ ） 若将方程改写为 建立迭代公式 迭代不收敛。 如何选取合适的迭代函数 ？下面介绍 三个迭代法的收敛定理。 ( ) x
定理1.设函数q(x)在区邮a,b上满足条件 1)对任意x∈[a,b,都有a≤q(x)≤b; (2)存在常数0<L<1(chi常数),使得对 切x,y∈[a,b],都有 9(x)-9(y)≤L|x-y( Lipschitz条件) 则方程x=9(x)在[a,b有唯一的根x,且对任何 初值xo∈[a,b],迭代序列 n+1 q(xn)(n=0,1,…) 均收敛于x,并有 1-L
( ) ( ) * 1 . ( ) [ , ] 1 [ , ] ( ) ; (2) 0 1 , , [ , ], ( ) ( ) ( ) [ , ] , [ , ], ( ) ( n n x a b x a b a x b L Lipschitz x y a b x y L x y Lipschitz x x a b x a b x x n + − − = = 1 0 定理 设函数 在区间 上满足条件 （ ）对任意 ，都有 存在常数 常数 使得对 一切 都有 条件 则方程 在 内有唯一的根 且对任何 初值x 迭代序列 * * 1 0 0,1, ) x 1 n n x L x x x L = − − − 均收敛于 ，并有
证:(存在性)由条件(2)知(x)在[a,b上连续 令v(x)=x-(x),则y(x)在[a,b上连续,且 y(a)=a-9(a)≤0,v(b)=b-q(b)≥0 故存在∈[a,b,使得v(2)=0,即5=q(2 所以方程x=q(x)在[a,b]有根。 (唯一性)假设方程x=∞(x)在[a,b内有两个根 x≠x2,由条件(2),有 引=(x)-9(x)≤L-x2<x-E 导出矛盾,唯一性得证
( ) 2 ( ) [ , ] ( ) ( ), ( ) [ , ] ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0 [ , ] 0, ( ) [ , ] x a b x x x x a b a a a b b b a b x x a b = − = − = − = = = 证：存在性 由条件（ ）知 在 上连续。 令 则 在 上连续，且 故存在 ，使得 （ ） 即 （ ）, 所以方程 在 内有根。 ( ) * * 1 2 * * * * * * * * 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) [ , ] , 2 ( ) ( ) x x a b x x x x x x L x x x x = − = − − − 唯一性 假设方程 在 内有两个根 由条件（ ），有 导出矛盾，唯一性得证
对任意x∈[a,b],迭代公式有 x=o(xm-2-p(xsLxm-1-x 依此类推,得,-x|≤Lx-x 因O<L<1,所以 limx →> 即对任意初值xo∈[a,b,迭代序列{xn}均收 汝到方程的根x 类似地,对任意正整数k,有 lxk+l-xk=p(xk)-(xk-dsLlxk k <LA
0 * * * 1 1 * * 0 * 0 * 1 1 1 1 0 [ , ], ( ) ( ) 0 1, lim x [ , ], ( ) ( ) n n n n n n n n k k k k k k k x a b x x x x L x x x x L x x L x x a b x x k x x x x L x x L x x − − → + − − − = − − − − = − = − − − 对任意 由迭代公式有 依此类推，得 因 所以 即对任意初值 迭代序列 均收 敛到方程的根 。 类似地，对任意正整数 ,有
于是,对任意正整数n,p,有 n+p ntp n+p- n+p-2 n+p-1 x-xo+L +…+L" L"+L+…+1)|x1-x P 1-L L'Ix-x 令p→∞,得 Ixo
于是，对任意正整数n p, ,有 1 1 2 1 1 2 1 0 1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 * 1 0 ( 1) 1 1 , 1 n p n n p n p n p n p n n n p n p n n p p p n n n L p L x L x x x x x x x x L L L x x x x x x L L L x x L L x x x x x + + + − + − + − + + − + − − − − − + − + + − − + − + + − = + + + − − = − − → − − − 令 得