第九章常微分方程数值解法 §1、引言 阶常微分方程的初值问题: r/( x,y)a≤x≤b (O=y
第九章 常微分方程数值解法 §1 、引言 0 0 : ( , ) ( ) dy f x y a x b dx y x y = = 一阶常微分方程的初值问题
例:方程xy-2y=4x→y J +4 令:f(x,y)=2+4且给出初值p(D)=3 就得到一阶常微分方程的初值问题: f(x, y) +4 dx yx y(1)=-3
2 y xy 2 y 4 x y 4 x 2 y f x y 4 y 1 3 x dy 2 y f x y 4 dx x y 1 3 ' ' : - ( , ) ( ) - ( , ) ( ) = = + = + = = = + = − 例 方程 令： 且给出初值 就得到一阶常微分方程的初值问题：
只要函数f(x,y)适当光滑连续,且关于y满足 Lipschitz条件,即存在常数L,使得 f(x,y)-f(x,y)≤Ly 由常微分方程理论知,初值问题的解必存在且 唯
( , ) ( , ) ( , ) f x y y Lipschitz L f x y f x y L y y − − 只要函数 适当光滑连续，且关于 满足 条件，即存在常数 ，使得 由常微分方程理论知，初值问题的解必存在且 唯一
微分方程的数值解:设方程问题的解y(x) 的存在区间是|ab,令a=xx…<xn=b, 其中hk=kxk,如是等距节点h=(bam,h 称为步长。 y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得 到,我们用数值方法求得y(在每个节点xk 上v(x的近似值,用表示,即y(x,这 样yn,y1…称为微分方程的数值解
微分方程的数值解：设方程问题的解y(x) 的存在区间是[a,b]，令a= x0< x1<…< xn =b, 其中hk=xk+1-xk , 如是等距节点h=(b-a)/n , h 称为步长。 y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得 到，我们用数值方法求得y(x)在每个节点xk 上y(xk )的近似值，用yk表示，即yk≈y(xk )，这 样y0 , y1 ,...,yn称为微分方程的数值解
主要问题 ◆如何将微分方程离散化,并建立求 其数值解的递推公式; ◇递推公式的局部截断误差,数值解 与精确解的误差估计 ◆递推公式的稳定性与收敛性
主要问题 ❖如何将微分方程离散化，并建立求 其数值解的递推公式； ❖递推公式的局部截断误差，数值解 与精确解的误差估计； ❖递推公式的稳定性与收敛性