目录 第一章行列式 §1.1行列式的概念 §1.2行列式的性质 8 §1.3行列式的展开计算. 1.4 Cramer法则 第二章矩阵运算 2.1矩阵的概念.. 222 §2.2矩阵的线性运算及乘法运算.. §2.3转置矩阵及方阵的行列式 §2.4方阵的逆矩阵. §2.5分块矩阵 330 第三章初等变换与线性方程组 §3.1初等变换化简矩阵 §3.2初等矩阵 §3.3矩阵的秩 §3.4求解线性方程组—— Gauss消元法. 第四章向量组的线性相关性, §4.1向量组的线性相关性 §4.2向量组的极大线性无关组及秩 64 §4.3向量空间介绍 §4.4线性方程组的解的结构.. 74 第五章特征问题及二次型 §5.1方矩阵的特征值与特征向量.82 §5.2方阵A相似于对角矩阵 §5.3二次型的标准形 90 §5.4正交变换化二次型为标准形 §5.5二次型正定性
目 录 第一章 行列式................................................... 1 §1.1 行列式的概念............................................ 1 §1.2 行列式的性质............................................ 8 §1.3 行列式的展开计算 ........................................ 12 §1.4 Cramer 法则 ............................................. 21 第二章 矩阵运算................................................. 27 §2.1 矩阵的概念.............................................. 27 §2.2 矩阵的线性运算及乘法运算 ................................ 27 §2.3 转置矩阵及方阵的行列式 .................................. 34 §2.4 方阵的逆矩阵............................................ 36 §2.5 分块矩阵................................................ 40 第三章 初等变换与线性方程组 ..................................... 45 §3.1 初等变换化简矩阵 ........................................ 45 §3.2 初等矩阵................................................ 48 §3.3 矩阵的秩................................................ 50 §3.4 求解线性方程组——Gauss 消元法........................... 54 第四章 向量组的线性相关性 ....................................... 59 §4.1 向量组的线性相关性 ...................................... 59 §4.2 向量组的极大线性无关组及秩 .............................. 64 §4.3 向量空间介绍............................................ 69 §4.4 线性方程组的解的结构 .................................... 74 第五章 特征问题及二次型......................................... 82 §5.1 方矩阵的特征值与特征向量 ................................ 82 §5.2 方阵 A 相似于对角矩阵 .................................... 86 §5.3 二次型的标准形.......................................... 90 §5.4 正交变换化二次型为标准形 ................................ 95 §5.5 二次型正定性............................................ 99
第一章行列式 Arthur Cayley(1821-1895,英国)——矩阵论的创立者。在剑桥 获数学荣誉会考一等第一名,并获得 Smith奖,从事n维解析几何, 行列式理论,线性变换和矩阵等方面的研究。 James, Joseph sylvester(1814--1897,犹太人),矩阵论的创立 者。在剑桥,获数学荣誉会考一等第二名。他开创了美国纯数学研究, 创办了《美国数学杂志》。从事行列式,矩阵论,组合数学等方面研 究 §1行列式的概念 [学习要求] 1)会用对角线法计算二、三阶行列式 2)会求排列的逆序及奇偶性 3)理解n阶行列式定义 、二,三阶行列式的计算 1)求平面两直线交点 1x1+a12x2=b1 a21X1+a2)x bz2 消去x2,解出x得 11022 )x1=6a22-b2a
1 第一章 行列式 Arthur Cayley（1821-1895，英国）——矩阵论的创立者。在剑桥， 获数学荣誉会考一等第一名，并获得 Smith 奖，从事 n 维解析几何， 行列式理论，线性变换和矩阵等方面的研究。 James, Joseph Sylvester（1814——1897，犹太人），矩阵论的创立 者。在剑桥，获数学荣誉会考一等第二名。他开创了美国纯数学研究， 创办了《美国数学杂志》。从事行列式，矩阵论，组合数学等方面研 究。 §1 行列式的概念 [学习要求] 1）会用对角线法计算二、三阶行列式 2）会求排列的逆序及奇偶性 3）理解 n 阶行列式定义 一、二，三阶行列式的计算 1）求平面两直线交点 + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b 消去 2 x ，解出 1 x 得 11 22 12 21 1 1 22 2 12 (a a − a a )x = b a −b a
M 记D ad 副对角线主对角线 阶行列式等于主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积。 12 则有 b =b2a1-b4a21 a21b2 交点:x1 2 其中D≠0 D 2)求三平面的交点 a1x1+a12x2+a13x3=b1 diX, t aox+ aox2= x2+ a33x by3 消 解出x得 Dx1=D1(设D≠0) 其中 D a1.222+a1a2a +a2a242-a13a2a31-ah2a21a33-a1(23432
2 记 11 22 12 21 21 22 11 12 a a a a a a a a D = = − 副对角线 主对角线 二阶行列式等于主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积。 则有 1 22 2 12 2 22 1 12 1 b a b a b a b a D = = − 2 11 1 21 21 2 11 1 2 b a b a a b a b D = = − 交点： D D x D D x 2 2 1 1 = , = ，其中 D 0 2）求三平面的交点 + + = + + = + + = 31 1 32 2 33 3 3 21 1 22 2 23 3 2 11 1 12 2 13 3 1 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 消 2 3 x , x ，解出 1 x 得 Dx1 = D1 （设 D 0 ） 其中 11 22 33 12 23 31 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a D = = + + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32 － +
对角线计算法 三阶行列式D由6项组成,每项是位于D中不同行不同列的三元 素之积,并按一定规则带有正号或负号。主对角线上三元素之积及平 行于主对角线上三元素之积的项带正号,副对角线上三元素之积及平 行于副对角线上三元素之积的项带负号。 则记D=b2a2a2 6,a22a33+a12a23b3+a13b2a32 13a22b3-a1252a33-b,a 得 D 同理有 D x1+2x2-2x3=2 例 3x1+2x2+x3=-5 2x1+5x+x2=0 解:D=32 27 D1=54,D2=-27,D3=27
3 对角线计算法 三阶行列式 D 由 6 项组成，每项是位于 D 中不同行不同列的三元 素之积，并按一定规则带有正号或负号。主对角线上三元素之积及平 行于主对角线上三元素之积的项带正号，副对角线上三元素之积及平 行于副对角线上三元素之积的项带负号。 则记 3 32 33 2 22 23 1 12 13 1 b a a b a a b a a D = = b1a22a33 + a12a23b3 + a13b2a32 − a13a22b3 − a12b2 a33 − b1 a23a32 得 D D x 1 1 = 。 同理有 , . 3 3 2 2 D D x D D x = = 例 1： + + = + + = − + − = 2 5 0 3 2 5 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 解： 27 2 5 1 3 2 1 1 2 2 = − − D = D1 = 54, D2 = −27, D3 = 27
得 D D [注意]对角线法不适于3阶以上的行列式。 3)分析三阶行列式的规律: ①每项:每项为三元素之积,三元素取之不同行不同列。 ②项数:3!=6项 ③符号:与每项三元素的所在的列下标三个数字的排列有关。即 与自然排列123对换为此排列的次数有关 排列 123 231 312 321 132 213 对换次数0 2 2 奇偶性 偶 奇 带符号 正 负 将对换次数转化为下面求排列的逆序问题 二、排列的逆序与奇偶性 n个自然数1,2,……,n的一个排列,称为一个n元排列。记为 i2…in。共有川个排列 庭义们一个排列12…y……中,两个数字n,的 小与位置相反,称这两个数字构成一个逆序,排列中所有数字的逆序 个数的总和就称为该排列的逆序数。记为z2…n 计算法]」从排列的右边起,每一个数字与其左边的数字逐个比
4 得： 2, 1 1 = = − D D x 1, 2 2 = = D D x 1. 3 3 = = − D D x [注意] 对角线法不适于 3 阶以上的行列式。 3）分析三阶行列式的规律： ①每项：每项为三元素之积，三元素取之不同行不同列。 ②项数： 3！= 6项 ③符号：与每项三元素的所在的列下标三个数字的排列有关。即 与自然排列 123 对换为此排列的次数有关。 排列 123 231 312 321 132 213 对换次数 0 2 2 1 1 1 奇偶性 偶 奇 带符号 正 负 将对换次数转化为下面求排列的逆序问题。 二、排列的逆序与奇偶性 n 个自然数 1，2， ，n 的一个排列，称为一个 n 元排列。记为 n i i i 1 2 。共有 n! 个排列。 定义 1 一个排列 p q n i i i i i 1 2 中，两个数字 p i ， q i 的大 小与位置相反，称这两个数字构成一个逆序，排列中所有数字的逆序 个数的总和就称为该排列的逆序数。记为 [ ] 1 2 n i i i 。 计算法 从排列的右边起，每一个数字与其左边的数字逐个比