定理2.设函数φ(x)在区间a,b上满足条件 (1)对任意x∈[a,b,都有a≤(x)≤b (2)存在常数0<L<1,使得对一切x∈[a,b],都有 q(x)|≤L 则方程x=(x)在,b内有唯一的根x,且对任何 初值x。∈[a,b,迭代序列 n+1 q(xn)(n=0,1,…) 均收敛于x,并有 1-L
' * 1 * * . ( ) [ , ] 1 [ , ] ( ) ; (2) 0 1, [ , ], ( ) ( ) [ , ] , [ , ], ( ) ( 0,1, ) x n n x a b x a b a x b L x a b x L x x a b x a b x x n x + = = = 0 定理2 设函数 在区间 上满足条件 （ ）对任意 ，都有 存在常数 使得对一切 都有 则方程 在 内有唯一的根 且对任何 初值x 迭代序列 均收敛于 ，并有 1 0 1 n n L x x x L − − −
证:设x,y为a,b上任意两点,由微分中 值定理,在x,y之间至少存在一点占,使得 op(x)-(=p(s(x-y →|m(x)-q()=|(5)(x-y) (5)|(x-y)≤L|x-y 即φ(x)满足上一定理的条件(2),故结论成
' ' ' , [ , ] , ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 x y a b x y x y x y x y x y x y L x y x − = − − = − = − − 证：设 为 上任意两点，由微分中 值定理，在 之间至少存在一点 ，使得 即 满足上一定理的条件（ ），故结论成 立
误差估计式x ≤,x-x表明: L 常数L越小,简单迭代法收敛越快 因而构造迭代函数o(x)的原则是使p(x)在有根 区间a,b上有尽可能小的上界
' ( ) ( ) [ , ] x x a b 因而构造迭代函数 的原则是使 在有根 区间 上有尽可能小的上界。 * 1 0 1 n n L x x x x L − − − 误差估计式 表明: 常数L越小，简单迭代法收敛越快
对任意正整数p有 n+ n+p n+p n+p-1 X n+p Xn+d ≤(Lm+L"+…+1)xm-xl1= zIntl xml 令p→∞,得 1-L 可通过检查xn-x来判断迭代过程应否终止
1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 , * 1 n p n n p n p n p n p n n p p n n n n n n n n n p L p L x x x x x x x x L L x x x x x x x x x x + + + − + − + − + − − + + + + − − + − + + − + + + − − − → − − − − 对任意正整数 有 ） 令 得 可通过检查 来判断迭代过程应否终止。 （
例:能否用迭代法求解下列方程,如果不能,试将方程 改成能用迭代法求解的形式。 (1)x=(cosx+sinx)/4(2)x=4-2 分析:判断p(x)在根的附近能否满足 9(x)≤L<1 解()(x)=(cosx+snx)/4,x,有 o(x)=(cos x-sin x)/4<=< →能用迭代法求根
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin / 4; 2 4 2 . 1. cos sin / 4 , 2 cos sin / 4 1 4 x x x x x x x L x x x x x x x = + = − + = − 例：能否用迭代法求解下列方程，如果不能，试将方程 改成能用迭代法求解的形式。 1 分析：判断 在根的附近能否满足 解 1 ＝ ， 有 能用迭代法求根