第八章非线性方程(组)的数值解 今二分法 迭代法 令迭代法的加速( Aitken加速法、 Steffensen迭代法) ◆牛顿迭代法 ◆非线性方程组的迭代法
❖二分法 ❖迭代法 ❖迭代法的加速（Aitken加速法、Steffensen迭代法） ❖牛顿迭代法 ❖非线性方程组的迭代法 第八章 非线性方程（组）的数值解
问题:求解非线性方程 f(x)=0 其中,f是非线性函数 例:代数方程 f(x=anx"+ +a1x+ao=0,n>1. 例:超越方程 f(x=e +sinx=0 1.根的存在性? 2.根的分布范围? 3.如何选择求根法,使之简单、有效、经济?
( ) 0 f x f = ：求解非线性方程 其中， 是非 问题 线性函数. 1 1 1 0 ( ) 0, 1. : ( ) sin 0 n n n n x f x a x a x a x a n f x e x − = + + + + = − = + = ：代数方程 程 例 例 超越方 1.根的存在性？ 2.根的分布范围？ 3.如何选择求根法，使之简单、有效、经济？
§1.非线性方程实根的对分法(二分法) 设f(x)在[a,b]上连续且[a,b]有且仅有一个根又 f(a),f(b)<0。则可用对分法: 不妨设f(a)<0,f(b)>0 1)若 2/=0输出根x=+b atb ,否则;若/+b 2,b=b,反之b=4+b a+b 5)[p]区重渣J)其与手[p a+b 3)若f ≈O,则得到根x a +b
( ) [ , ] [ , ] ( ) ( ) 0 ( ) 0, ( ) 0 f x a b a b f a f b f a f b 设 在 上连续且 有且仅有一个根又 。则可用对分法： 不妨设 1 1 1 1 1 0 , 0 2 2 2 , , . 2 2 a b a b a b f x f a b a b a b b b a a + + + = = + + = = = = ）若 输出根 否则：若 ， 令 ， 反之 1 1 2 2 2) [ , ] 1 [ , ], 对 a b a b 区间重复 ）的计算，并产生 3) 0 . 2 2 a b a b i i i i f x + + 若 ，则得到根 §1. 非线性方程实根的对分法(二分法)
二分法的收敛性 f( 二分法产生一个有根区间 a,b→[a1,b]→…→[an,bn] b b [an,bn]区间长度: b (b (b-a) b t 当n足够大时,取近似值3n, b 误差:|x-x <e 2 n+1 计算简便,容易估计误差,但收敛较慢
二分法的收敛性 1 1 [ , ] [ , ] [ , ] n n a b a b a b 二分法产生一个有根区间： 1 1 [ , ] 1 1 ( ) ( ) 2 2 n n n n n n n a b b a b a b a − = − = = − − − 区间长度： 2 n n n b a n x + 当 足够大时，取近似值 = ， 1 2 n n b a x x + − 误差： − 计算简便，容易估计误差，但收敛较慢。 a x * x0 b f x( ) a1 b1
f(x)=x-2=0 3→c=2,f(c)=0=x=c; [06]→c=3[0,3]36]→[0,3] →[0,15]1.5,3]→[1.5,3] →[5,225225,3] →1.5,2.25→x≈1.875
( ) ( ) * 2 0 1,3 2; 0 ; 0,6 3; 0,3 , 3,6 0,3 0,1.5 , 1.5,3 1.5,3 1.5,2.25 , 2.25,3 1.5,2.25 1.875 f x x c f c x c c x = − = = = = =