《数值分析》课程教学资源（PPT课件）第六章 线性代数方程组的数值解 §3 矩阵的LU分解 §4 向量和矩阵的范数及方程组的性态

§3矩阵的LU分解 ◆矩阵的LU分解 ◆对称矩阵的平方根法 改进的平方根法 ◇解三对角方程组的追赶法

§3 矩阵的LU分解 ❖矩阵的LU分解 ❖对称矩阵的平方根法 ❖改进的平方根法 ❖解三对角方程组的追赶法

二、平方根法 工程实际计算中,线性方程组的系数矩阵常常 具有对称正定性,即其各阶顺序主子式及全部特征 值均大于零。矩阵的这一特性使它的三角分解也有 更简单的形式,从而导出一些特殊的解法,如平方 根法与改进的平方根法

二、平方根法 工程实际计算中，线性方程组的系数矩阵常常 具有对称正定性，即其各阶顺序主子式及全部特征 值均大于零。矩阵的这一特性使它的三角分解也有 更简单的形式，从而导出一些特殊的解法，如平方 根法与改进的平方根法

定理:设A是对称正定矩阵,则存在唯 的非奇异下三角阵L,使得 A= LL 且L的对角元素皆为正。 证明1;证明2

, A L T A LL L = 定理：设 是对称正定矩阵，则存在唯一 的非奇异下三角阵 使得 且 的对角元素皆为正。 证明1 ；证明2

定狸证明(1) 证:因A对称正定,其各阶顺序主子式均大于零,故有 A=LU其中L为单位下三角矩阵,U为上三角阵。 令D=dig(u12…,umn),P=DU,则P为单位上三角阵。 U DP 故A=LU=LDP=A=PDL 由LU分解的唯一性→P=L→A=PDP

定理证明（1） 11 22 1 11 11 12 1 12 1 11 11 1, 1, 2 1 2 1 ( , , , 1 ), nn n n n nn n nn n n u u u A u u A L U L D diag u u P D U u u u u U u u U P u u u − − − − = = =     =                               =  证：因 对称正定，其各阶顺序主子式均大于零，故有 其中 为单位下三角矩阵， 为上三角阵。 令 则 为单位上三角阵。 T T T T T A LU LDP A P DL A P D D P P LU L P       = = = = =  =    = 故 由 分解的唯一性

定理证明(2) 证明:(存在性)由于A是对称正定的,其顺序主子 式均大于零。故 41=D1>0,n=D/D1>0(=2,3,…,n) d= diag(u, D=DD A=P DP=P D DP=(DP) DP=LL 其中L=(DP)为非奇异下三角阵,且对角元素皆 为正数

定理证明（2） 11 1 1 11 0, / 0 ( 2,3, , ) ( , , , ( ( ) , ) ) ii i i T n T n T T T T T u D u D D i n D diag DP D u u D D D A A L DP P DP P P D D P LL =  =  = − =  = = = = = = 证明： 由于 是对称正定的 其顺序主子 式均大于零。故 令 则 其中 为非奇异下三角阵 且对角元素皆 （存在性） 为正数