第二章解析函数 §2.1解析函数的概念 1.复变函数的导数与微分 1)导数的定义 定义设函数w=f(z)定义于区域D,z0为D中的一点,点z0+△z 不出D的范围.如果极限 lim f(0+△2)-f(0) △→0 △z 存在,那么称f(z)在z0可导这个极限值称为f(z)在z0的导数记作 (zo)=dw=lim f(+)-f() = △z→0 △z 如果f(z)在区域D内处处可导,就说f(z)在D内可导 例1问f(z)=x+2yi是否可导? 解因为 limf(z+△2)-f(z) △z→ △z lim(x+△x)+2(y+△y)i-x-2yi △z→ △z =lim△x+2△yi △→0△x+△yi 当z+△z沿着平行于x轴的直线趋向于z,此时△y=0,极限 lim △x+2△y=lim=1 △ 当z+△z沿着平行于y轴的直线趋向于z,此时△x=0,极限 lim△x+2△y=20yi=2 2△yi 2→0△x+△ 所以f(z)的导数不存在 1
$y 8c2Y §2.1 7b1X +J 1. ) 1X Xv`( 1) !+$)] q !F+ w = f(z) )]fi D, z0 > D }$Y(( z0 + 4z Æ D $3< EMH lim 4z→0 f(z0 + 4z) − f(z0) 4z my f(z) x z0 ;. p=MHy> f(z) x z0 X, Q f 0 (z0) = dw dz z=z0 = lim 4z→0 f(z0 + 4z) − f(z0) 4z . E f(z) mi D f!a. f(z) x D I; > 1 ? f(z) = x + 2yi &6f! 7 ^> lim 4z→0 f(z + 4z) − f(z) 4z = lim 4z→0 (x + 4x) + 2(y + 4y)i − x − 2yi 4z = lim 4z→0 4x + 24yi 4x + 4yi z + 4z VQf x $xILf z, " 4y = 0, MH lim 4z→0 4x + 24yi 4x + 4yi = lim 4z→0 4x 4x = 1. z + 4z VQf y $xILf z, " 4x = 0, MH lim 4z→0 4x + 24yi 4x + 4yi = lim 4z→0 24yi 4yi = 2. 2Z f(z) $!+Æ m 1
第二章解析函数 2)可导与连续 性质:在可导的函数必定在连续.反之不成立 证根据导数的定义,e>0,36>0,使得当0<|△<δ时,有 f(20+4x)-f(zo)_f (zo)<E 令 p(△z) f(0+△z)-f(20) f(20) 那么 p(△z)=0. 于是 f(x0+△z)-f(20)=f(x0)△z+p(△x)△z 所以 mof(0+△2)=f(a0 所以f(x)在可导必定在x连续 反之不成立.例如f(x)=x+2yi在复平面内处处连续但处处不可 导.证毕 例2研究函数f(x)=|22的可导性 解设x=x0+i0是任一复数.因为 f(0+△z)-f(0)|z0+△z|2-|z02 △ (0+△2)(0+△z) 如果a0=0,那么,当△z→0时,上式的极限是零 如果20≠0,此时,令0+△z沿直线 30=k( 趋向于20,则有 △z△x-△yi 1-ki △z△x+ 与k有关,不趋于一个确定的值.所以,当△z→0时,比值 f(0+△z)-f(0) 的极限不存在 所以,f(x)=12仅在z=0处可导,在其他点都不可导
2 $%/ )-'+ 2) f!hmS jm z0 f!$F+ )m z0 mS2wÆl |: ?b!+$)] ∀ε > 0, ∃δ > 0, $# 0 < |4z| < δ "c f(z0 + 4z) − f(z0) 4z − f 0 (z0) < ε. t ρ(4z) = f(z0 + 4z) − f(z0) 4z − f 0 (z0), y lim 4z→0 ρ(4z) = 0. f& f(z0 + 4z) − f(z0) = f 0 (z0)4z + ρ(4z)4z. 2Z lim 4z→0 f(z0 + 4z) = f(z0). 2Z f(z) m z0 f! )m z0 mS 2wÆlk f(z) = x + 2yi m7}mS Æf !t > 2 U`F+ f(z) = |z| 2 $f!R 7 ! z0 = x0 + iy0 &Y7+^> f(z0 + 4z) − f(z0) 4z = |z0 + 4z| 2 − |z0| 2 4z = (z0 + 4z)(z0 + 4z) − z0z0 4z = z0 + 4z − z0 4z 4z , E z0 = 0, y 4z → 0 " %$MH&r E z0 6= 0, "t z0 + 4z VxI y − y0 = k(x − x0) Lf z0, nc 4z 4z = 4x − 4yi 4x + 4yi = 1 − 4y 4x i 1 + 4y 4x i = 1 − ki 1 + ki h k cBÆfY=)$y2Z 4z → 0 "y f(z0 + 4z) − f(z0) 4z $MHÆ m 2Z f(z) = |z| 2 _m z = 0 f!m 3(*Æf!
§2.1解析函数的概念 3)求导法则 (a)(c)=0,其中c是复常数 (b)(zn)=nzn-1,其中n是正整数 (c)[f(x)±g(2)y=f(x)±9(2) (d)[f(z)9(2)=f(z)9(x)+f(z)9(z) (=G(5r()9)-(00)≠0 (f){f()=f(u)g(x),其中,u=9(2) (g)f(2)=一其中,=f(x)与z=()是两个互为反函数的 单值函数,且y(u)≠0. 例1求下列函数的导数 (2)2 解 (1)f(x)=23+2z在复平面上处处可导,f(x)=3z2+2i; (2)f(z) 在分母不为零处(即z≠±1)可导,f(z) 4)微分的概念 设函数=f(x)在0可导,则有 △=f(x0+△x)-f(x0)=f(x0)△z+p(△z)△z, 其中,limp(△z)=0.因此lp(△z)△a是|△的高阶无穷小量,而 f"(x0)△z是改变量△u的线性部分,称∫(x0)△z是函数=f(x)在点x 的微分,记作 函数=f(x)在0可导与在a0可微是等价的
§2.1 )-'+"&* 3 3) !1n (a) (c) 0 = 0, } c &7+ (b) (z n ) 0 = nzn−1 , } n &sr+ (c) [f(z) ± g(z)]0 = f 0 (z) ± g 0 (z). (d) [f(z)g(z)]0 = f 0 (z)g(z) + f(z)g 0 (z). (e) f(z) g(z) 0 = 1 g 2 (z) [f 0 (z)g(z) − f(z)g 0 (z)], g(z) 6= 0. (f) {f[g(z)]} 0 = f 0 (w)g 0 (z), } w = g(z). (g) f 0 (z) = 1 ϕ0(w) , } w = f(z) h z = ϕ(w) &n=K>2F+$ yF+Æ ϕ 0 (w) 6= 0. > 1 EpF+$!+ (1) z 3 + 2iz; (2) 1 z 2 − 1 7 (1) f(z) = z 3 + 2iz m7} f! f 0 (z) = 3z 2 + 2i; (2) f(z) = 1 z 2 − 1 m5Æ>r (O z 6= ±1) f!f 0 (z) = −2z (z 2 − 1)2 . 4) ;5$; !F+ w = f(z) m z0 f!nc 4w = f(z0 + 4z) − f(z0) = f 0 (z0)4z + ρ(4z)4z, } lim 4z→0 ρ(4z) = 0. ^ |ρ(4z)4z| & |4z| $<[AMo/ f 0 (z0)4z &: o 4w $IR5 f 0 (z0)4z W1X w = f(z) x z0 `(, Q dw = f 0 (z0)4z = f 0 (z0)dz. F+ w = f(z) m z0 f!hm z0 f;&%T$
的等而解析函数 2.解析函数的概念 定义如下函数f(x)在0及0的邻域内处处可设,那值称∫(z)在 0解析母 如下∫(x)在区域D内每一点因析,那值称∫(z)是D内的解析函数 如下函数f(x)在3且因析,那值称概∫(z)的奇点母 注1函数在区域内因析等价于在区域内可设母 注2函数在一点处因析且等价于在一点处可设母 例1研究函数f(2)=29(2)=x+2,h(2)=|2|2,c()=1的因析 性母 解1)f(z)=z2在复平中内处处可设,则在复平中内处处因析母 2)9(2)=x+2yi在复平中内处处且可设,则在复平中内处处且因 析母 3)h(2)=|22仅在z=0处可设,无在复平中内处处且因析母 4)(2)=在复平中内除z=0外处处可设,且 do(a) 无在复平中内除z=0外处处因析母 定理1)在区域D内因析的则个函数f(x),9(x)的和,求,积,商(除 去分母为整的点在区域D内因析母 2)如下函数h=9(x)在z平中上的区域D内因析,函数u=f(h) 在h平中上的区域G内因析母如下对D内的每一个点x,函数g(x)的对 应值h都解于G,那值复线函数=f()在区域D内因析母
4 $%/ )-'+ 2. 7b1X +J q EF+ f(z) m z0 N z0 $qif!y f(z) x z0 7b E f(z) mi D zY(^By f(z) W D I 7b1X. EF+ f(z) m z0 Æ^By z0 & f(z) $ L 1 F+mi^B%Tfmif! 2 F+mY(^BÆ%TfmY(f! > 1 U`F+ f(z) = z 2 , g(z) = x + 2yi, h(z) = |z| 2 , φ(z) = 1 z $^B R 7 1) f(z) = z 2 m7}f!nm7}^B 2) g(z) = x + 2yi m7}Æf!nm7}Æ^ B 3) h(z) = |z| 2 _m z = 0 f!Am7}Æ^B 4) φ(z) = 1 z m7} z = 0 :f!Æ dφ(z) dz = − 1 z 2 Am7} z = 0 :^B = 1) mi D ^B$n=F+ f(z), g(x) $GL ( 5>r$() mi D ^B 2) EF+ h = g(z) m z } $i D ^BF+ w = f(h) m h } $i G ^B E- D $zY=( z, F+ g(z) $- `y h *)f G, y7IF+ w = f[g(z)] mi D ^B
§2.2函概解析的定要条件 22法数复析此称要条分 定个两设函数f(x)=u(xr,y)+i(x,y)定义在区域D内,则f(x)在 D内一点z=x+iy可设的充要条件概:u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可 微,并且在该点满注柯西-与曼方程 d r dy 证称分性 根据可设的定义,要证小限 f(z+△z)-f(2) △ 存在母 由于 f(z+△z)-f(x)=u(x+△x,y+△y)-a(x,y) +i[v(x+△x,y+△y)-v(x,y) △u+i△ 又因为u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微,可知 △y+1△x+E2△y 其中, lim Ek=0(k=1,2,3,4).因此有 f(z+△z)-f(x) ( ar Az+ ou, ov dy ay 根据柯西-与曼方程 所以 r(2+△-f()=(m=+c)(△x+△
§2.2 '+)-" .,( 5 §2.2 1X7b l]5 =n !F+ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) )]mi D n f(z) m D Y( z = x + iy f!$W7V& u(x, y) h v(x, y) m( (x, y) f ; Æm9(weC - hx4 ∂u ∂x = ∂v ∂y , ∂u ∂y = − ∂v ∂x. | (j ?bf!$)]WtMH lim 4z→0 f(z + 4z) − f(z) 4z m bf f(z + 4z) − f(z) = u(x + 4x, y + 4y) − u(x, y) +i[v(x + 4x, y + 4y) − v(x, y)] = 4u + i4v, e^> u(x, y), v(x, y) m( (x, y) f;fv 4u = ∂u ∂x4x + ∂u ∂y 4y + ε14x + ε24y, 4v = ∂v ∂x4x + ∂v ∂y4y + ε34x + ε44y, } lim 4x → 0 4y → 0 εk = 0 (k = 1, 2, 3, 4). ^ c f(z + 4z) − f(z) = ∂u ∂x + i ∂v ∂x 4x + ∂u ∂y + i ∂v ∂y 4y +(ε1 + iε3)4x + (ε2 + iε4)4y. ?beC - hx4 ∂u ∂y = − ∂v ∂x = i 2 ∂v ∂x, ∂u ∂x = ∂v ∂y . 2Z f(z + 4z) − f(z) = ∂u ∂x + i ∂v ∂x (4x + i4y) +(ε1 + iε3)4x + (ε2 + iε4)4y.