第六章.线性代数方程组的数值解 ☆ Gauss消去法 ◆矩阵三角分解法 ◆对称矩阵的平方根法 今三对角方程组的追赶法 ☆向量与矩阵范数及方程组的性态 ☆解线性方程组的迭代法 今分快迭代法
第六章. 线性代数方程组的数值解 ❖Gauss 消去法 ❖矩阵三角分解法 ❖对称矩阵的平方根法 ❖三对角方程组的追赶法 ❖向量与矩阵范数及方程组的性态 ❖解线性方程组的迭代法 ❖分快迭代法
§1引言 n阶线性方程组: a1x1+a12x2+…+a1xn=b1 aixi+anx,++a2nx.b2 anxi+anx,++amx,=b 可以表示成矩阵形式:AX=b A=(a),x=(a1,…,xn),b=(b1,…,b
§1.引言 n阶线性方程组： 可以表示成矩阵形式： 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = AX b = ( ) , X , 1 1 T ij n n T A n n = = = a (x (b , , ) , , ) x b b
如果线性方程组的系数行列式不为零,即det4)≠0, 则该方程组有唯一解。由克莱姆( Cramer)法则,其解为 det(a (i=1,2,…,n) det(a) 这种方法需要计算n+1个m阶行列式并作n次除法,而每个 n阶行列式计算需作(n-1)×n次乘法,计算量十分惊人。 如n=30需31×29×30!=2.38×1035次乘法。可见其在理论 上是绝对正确,但在n较大时,在实际计算中确实不可行的
35 det( ) 0, det( ) ( 1,2, , ) det( ) 1 ( 1) ! 30, 2.38 10 i i A A x i n n A n n n n n n = = + = − 每个 如果线性方程组的系数行列式不为零，即 则该方程组有唯一解。由克莱姆(Cramer)法则，其解为 这种方法需要计算 个 阶行列式并作 次除法，而 阶行列式计算需作 次乘法，计算量十分惊人。 如 需31 29 30!= 次乘法。可见其 n 在理论 上是绝对正确，但在 较大时，在实际计算中确实不可行的
解线性方程组的两类方法 ◆直接法:经过有限次运算后可求得方程组 精确解的方法(不计舍入误差!) ◆迭代法:从解的某个近似值出发,通过 构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。 般有限步内得不到精确解)
解线性方程组的两类方法： ❖直接法: 经过有限次运算后可求得方程组 精确解的方法(不计舍入误差! ） ❖迭代法：从解的某个近似值出发，通过 构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。 （一般有限步内得不到精确解)
§2. Gauss消去法 ☆简单消去法 ◆Gaus顺序消去法的可行性及计算量 ◆矩阵的三角分解法 主元素消去法 ☆ Gauss-Jordan列主元消去法
§2. Gauss 消去法 ❖简单消去法 ❖Gauss顺序消去法的可行性及计算量 ❖矩阵的三角分解法 ❖主元素消去法 ❖Gauss-Jordan列主元消去法