《数学分析》课程教学资源（考研讲义）极限与连续

极限与连续 §1数列极限的证明与计算 极限定义与性质的应用。 单调有界原理的应用 Cauchy收敛准则的应用 Stols公式, Taylor公式的应用 1、证明: lim sin n不存在 证法1:利用 Cauchy准则。N,取n=[2Nx+,],m=[2Nz+2] 则2Nx+4xn2N7+<2Nx+m(2+2”一明2 证法2:设 lim sin n=A。因为sin(n+2)-snn=2 sin l cos(n+1), 令n→>∞即得 lim cos n=0。又由sn2n+cos2n=1可知A=1。又因为 sn2n=2 sin ncos以及 lim cos n=0得到A=0。得出矛盾。 35172n+1 2、设;(1)xn 。试求: lm x。解:(1) 2416 乘xn,注意(1-a)1+a)=1-ai 3、求极限:im a1+a+…+a x→0 解:原式=1+ a1+…+a ak →hak,(x→>0) 4、已知a1>0.(i=1…m),计算lm )“ 解:令a=ml},A=mx{,由迫敛性得极限为A+1

1 极限与连续 § 1 数 列 极 限 的 证 明 与 计 算 极限定义与性质的应用。 单调有界原理的应用。 C auchy 收敛准则的应用。 S t ols 公 式 ,Taylor 公式的应用 1、 证明： n n lim sin → 不存在 证 法 1：利 用 C auchy 准则。 N,取 ], 4 3 [2  n = N + m = [2N + 2 ] ， 则         2 2 2 4 3 2 4 2N +  n  N +  N +  m  N + 故 2 2 sin n − sin m  。 证 法 2： 设 n n lim sin → ＝ A 。因为 sin( n + 2) − sin n = 2sin 1cos(n +1) ， 令 n → 即 得 lim cos = 0 → n n 。又由 sin cos 1 2 2 n + n = 可 知 A = 1。 又 因 为 sin 2n = 2sin ncosn 以 及 lim cos = 0 → n n 得 到 A =0。得出矛盾。 2、 设 ；（ 1） n n n x 2 2 2 2 1 16 17 4 5 2 3 + =  。试求： n n x → lim 。 解 ：（ 1） . .以 2 1 1 2 1 1 − − 乘 n x ，注意 2 (1− a)(1+ a) =1− a 。 3、求极限： x x n x x x n a a a 1 1 2 0 lim       + + + →  。 解：原式 = ln ,( 0) 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 → → −                 − + + + − + + − + + a x x a n a a k x k x n a a n a a x n x x n x x n x    。 4、已知                +       =  = − →+ = n p i p i n p i p i p ai i n a a 1 1 1 1 0,( 1, )，计算lim 。 解：令 min   , max . a = ai A = ai 由迫敛性得极限为 a A 1 +

2 5、设 2,求mx 解法(1):2(√k+1-√k)<<2(k-√k-1) 解法(2):x中共有2n+2项,最大项为-,最小项为 因此2n n lP+2P+…+nP 6、求极限:lim (p为自然数) 解:利用 Stolz公式、二项式定理。 7、求极限:lm(2 解:对于连乘积形式,可以先取对数。 2 xn +2h +…+2″-2h ,由 Stolz公式 lim In xn=lim 2- =hn,所以lm 8、设:4=∑a收敛,{pn}个+。求证:1imPa+P=0。 P ∑(p-P4)4 证:ak=A4-A-1,则:原式= +An,对第一项 应用 Stolz公式 9、设x1>0 c(+x) 解:注意到x-x2( 1),求:lm 故应比较xn与√C的大小关系。问 题在于是否有:xn都大于√E?或x都小于vc?或xn都等于√E?

2 5、设： n n n k n n x k x → + = =  , : lim 1 2 2 ( 1) 求 。 解法（ 1）： 2( 1) 1 2( +1 − )   k − k − k k k 。 解法（ 2）： n x 中共有 2 n+2 项，最大项为 n 1 ，最小项为 1 1 n + ， 因 此 n n x n n n 2 2 1 2 2 +   + + 。 6、求极限： p n n p p p p n , ( 1 2 lim +1 → + ++ 为 自 然 数 ）。 解：利用 S t olz 公式、二项式定理。 7、求极限： 2 1 2 1 1 3 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 lim         −         −       − − → − − n n n n n  。 解：对 于连乘积形式，可以先取对数。         − + + − + − = − − − 2 1 2 2 ln 2 1 2 2ln 2 1 1 ln 2 1 ln 1 2 1 2 3 n n n n n x  ， 由 S t olz 公 式 2 1 , lim 2 1 ln 2 2 2 1 2 2 ln lim ln 1 2 1 2 lim = = − − = → − − − − → → n n n n n n n n n n x 所以 x 。 8、设 ： = = n k An ak 1 收敛， pn  + 。求 证 ： 0 1 1 lim = + + → n n n n p p a  p a 。 证 ： ak = Ak − Ak−1 ， 则 ： 原 式 = n n n k k k k A p p p A +  − − = + 1 1 1 ( ) ， 对 第 一 项 应 用 S t olz 公式。 9、 设 n n n n n c x c x c x x x → +  + +  = ( 1) , lim (1 ) 0 , 1 1 求： 。 解 ：注 意 到 ， n n n n c x x c x x + − − + = 2 1 故应比较 n x 与 c 的 大 小 关 系 。问 题在于是否有： n x 都 大 于 c ？ 或 n x 都 小 于 c ？ 或 n x 都 等 于 c ？

这问题通常与递推关系式f(x)=2(+x)的单调性及首项x的大 小有关 c+,则(x)=c(c-)70.且(ve)=√e,所以f(x)单调增 设:f(x)= (c+x) 加。① √C时,对任意n都有xn=√e,所以{xn}收敛于vc 由 f(xn)及归纳法可证 因此又有{xn}↓ √e。同理可证xn<vC,且{xn}↑ 另解:因为0<f(x)=-1)≤2c) 即f(x)为压缩映 射,从而{xn}收敛 若f(x)在I=[ ]上可微 f(x)≤a<1,f(a)-a≤(1-a)y 任取x∈,令x=f(x),x2=f(x1)…,xn=f(xn1)…。则:存在唯一的x∈1 使lm x为f(x)的不动点 证:先证f(x)是I到I的映射,即当x-dr时f(x)-dl≤r。再 证f(x)是压缩映射 11、设(x)≤M,0<a<%,x∈R令x=9(x)…x=可(xn) 试证mxn存在,且为方程x=f(x)的根。 0<q=Ma<1,xm-xl≤qxn-xn-,由此可知{xn}是柯西列 设0≤x≤1,y1 求极限 证:用归纳法可证{vn}↑,0≤yn≤

3 这 问 题 通 常 与 递 推 关 系 式 c x c x f x + + = (1 ) ( ) 的 单 调 性 及 首 项 1 x 的 大 小有关。 设 ： f c c c x c c f x c x c x f x  = + −  = + + = 0, ( ) ( ) ( 1) , ( ) (1 ) ( ) 则 2 且 ，所以 f (x) 单调增 加。① x = c 1 时，对任意 n 都 有 x c n = ，所以 xn  收敛于 c 。 ② x  c 1 。 由 ( ) n 1 n x = f x + 及归纳法可证 x c n  ，因此又有 xn   。 ③ x  c 1 。同理可证 xn  c ,且{xn }。 另解：因为 1 , ( ) 1 1 ( 1) ( ) ( 1) 0 ( ) 2 2 f x c c c c c x c c f x = −  即 −  + −   = 为压缩映 射，从而 xn  收敛。 1 0 、 若 f (x) 在 I=[a - r,a+r ] 上 可 微 ， f (x)  1, f (a) − a  (1−)r ， x I x f x x f x x f x x I  = = n = n−  * 0 1 0 2 1 1 任取 ,令 ( ), ( ), , ( ),。则：存在唯一的 * * lim x x , x n n =  使 为 f (x) 的不动点。 证 ：先 证 f (x) 是 I 到 I 的 映 射 ，即 当 x − a  r时 f (x) − a  r 。再 证 f (x) 是压缩映射。 1 1、 设 M f (x)  M , 0   1 ， , ( ), , ( ) 0  1 = 0 n = n−1 x R 令x f x  x f x 。 试 证 n n x → lim 存 在 ,且为方程 x = f (x) 的根。 证 ： 0 < 1 1 1, =  n+ − n  n − n− q M x x q x x ,由此可知 xn  是柯西列 . 1 2、 设 , ( 1 , 2 , ) 2 2 , 2 0 1 , 2 1   1 = = + − n =  x y y x x y n n 。求极限 n n y → lim 。 证：用归纳法可证 yn  , 0  yn  1

4 13、设a>1,x>√a,xn1 a+x (n=1,2,…)求极限 解:x1=1+(-+D及x>√可知x,≤√,x≥l。 又由x2一=2(a-x)j0x,<√a 可知{x2k}↑ +c+2x x> va X+x 令a=如x,b=厘x2,分别在 a +x2 边取极限,得到a=b=√a,因此lmxn=√a xn,(m+3a) 14、设x>0,a>0,=3x+a,求:hs, x 1+ 。{xn}的单调性归结为 是否:x都大于园a?或x都小于√a?x都等于、a?设 ∫(x)=x(x2+30则f(≈3(x2 于是 ①.若 则 ②.若x>√a,则由f(x)的递增性可知xn>√a,所以{xn}递减。 ③.若x<a,也由f(x)的递增性可知xn(√a,所以{n}递增 15、设 ∏I(n2+1)”,求:mx 解:考察lnxn,化之为ln(1+x2)在[0,2]上的积分和 16 设 an=(an1+a=2)3,,试证{an}收敛于方程x3=x+x3的一个正根

4 1 3、 设 n n n n n n x x x x x → + = + +   = , ( 1, 2 , ) . lim 1 1, , 1 1  求极限：    。 解 ：         + − + +1 = + 1 2 2 +1 , 1 ( 1)( 1) 1 k k n n x x x x x 及 可知 。 又 由         + + − + − =     n n n n n n x x x x x x 0 0 1 2 2( ) 2 2 ，可知 x2k  , x2k+1 。 令 k k k k k k k k k k x x x x x a x b x x 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 , 1 lim , lim , + + = + + = = = + − − + → →   分别在 两 边取极限，得到 = =  =  → n n a b ,因此 lim x 。 1 4、 设 1 x ＞ 0， n n n n n n x x a x x a a x → + + +  = , lim 3 ( 3 ) 0 , 2 2 1 求： 。 证 ：                 + = + + x a x a x a a x x n n n n n 1 1 3 8 1 3 1 2 1 。 xn  的 单 调 性 归 结 为 是否： n x 都大于 a ？ 或 n x 都小于 a ？ n x 都等于 a ？ 设 x a x x a f x + + = 2 2 3 ( 3 ) ( ) 则 f a a x a x a f x  = + −  = 0 , ( ) (3 ) 3( ) ( ) 2 2 2 2 。于是： ① ． 若 1 x = a ， 则 n x = a 。 ② ． 若 1 x > a ,则 由 f(x)的递增性可知 n x > a ,所 以 xn  递减。 ③ ． 若 1 x < a ,也 由 f(x)的递增性可知 n x < a ,所 以 xn  递增。 1 5、 设 n x ＝ n n n n i n i x n = → ( + ) , lim 1 1 2 2 1 4 求： 。 解：考察 l n n x ，化之为 l n（ １ + 2 x ） 在 [ 0， 2 ]上的积分和。 1 6 、 设 a>0, 3 1 3 1 1 a = (a + a ) ， 3 1 3 1 2 1 a = (a + a ) ，．．．， 3 1 3 1 1 2 ( ) an = an− + an− ，．．． 试 证 { n a }收敛于方程 3 x ＝ 3 1 x + x 的 一 个 正 根

证:先来讨论{an}的单调性: 当a+a3≥a3时,可推知{an}递增,an≥a>0。当a+a3≤a3时, 可证{an}递减 再来分析{an}的有界性:设f(x)=x+x3-x3。 an}递增时,a3=an1+ωa2≤an+a,故f(an)≥0;{an}递减时, an=an1+a2≥an+a3,故f(an)≤0。因此,需要确定f(x)的保号区 间。由介值定理知正根ξ的存在性,又由罗尔定理知ξ的唯一性 再由f(+∞)=-∞,所以在(0,+∞)上f(x)具有如下的保号性 f(x)>0分x∈(0,5);f(x)<0分x∈(5,+∞)。综上可知 an}递增时an≤ξ,即{an}有上界;{an}递减时an≥5,即{an} 有下界。 §2上极限与下极限 (一)数列的上、下极限。 上、下极限的各种等价定义: 上、下极限的确界定义 设{xn}是有界数列,x=sup{x},xn=mf{xk}。则{}递增有 上界,{n递减有下界。记x=mxn,x=lmxn,分别称为{xn} 的上、下极限,记为mxn,皿mxn。显然mxn= inf sup{x},mxn sup inf{x},并且皿mxn≤mxn n≥k2n 上、下极限的E--N定义 x是{xn}的上极限当且仅当对任意正数E有:①存在N当n>N 时xn<x+E。②对任意自然数N,存在自然数n(n>N)使得 x是{xn}的下极限当且仅当对任意正数E有:①存在N当n>N 时xn>x-E。②对任意自然数N",存在自然数n(n>N)使得

5 证：先来讨论 { n a }的单调性： 当 3 1 a + a  3 a 时 ， 可 推 知 { n a }递增， n a  a >0 。 当 3 1 a + a  3 a 时 ， 可 证 { n a }递减。 再来分析 { n a }的有界性：设 f (x)= 3 1 x + x － 3 x 。 { n a }递增时， 3 n a = 3 1 an−1 + an−2  n a + 3 1 n a ，故 f ( n a )  0；{ n a }递减时， 3 n a = 3 1 an−1 + an−2  n a + 3 1 n a ，故 f ( n a )  0。因 此 ，需 要 确 定 f (x)的 保 号 区 间 。由 介 值 定 理 知 正 根  的 存 在 性 ，又 由 罗 尔 定 理 知  的唯一性， 再 由 f (+  )＝ －  ，所 以 在（ 0，+  ）上 f (x)具有如下的保号性： f (x)＞ ０  x  （ 0，  ）； f (x)＜ ０  x  （  ， +  ）。 综 上 可 知 { n a }递增时 n a   ， 即 { n a }有 上 界 ； { n a }递减时 n a   ， 即 { n a } 有下界。 § 2 上 极 限 与 下 极 限 （一） 数列的上、下极限。 上、下极限的各种等价定义： 上、下极限的确界定义： 设 xn  是 有 界 数 列 ，  k  k n n x x  = sup ， n x =  k  k n x  inf 。 则 xn  递增有 上界， x n  递减有下界。记 x = n→ lim n x ， x = n→ lim n x ， 分 别 称 为 xn  的 上 、 下 极 限 ， 记 为 n n n n x x → → lim , lim 。 显 然 n n x → lim =  k  k n n x   inf sup 1 ， n n x → lim =  k  k n n x   sup inf 1 ，并且 n n x → lim  n n x → lim 。 上、下极限的  − −N 定义： x 是 xn  的上极限当且仅当对任意正数  有 ：① 存 在 N 当 n> N 时 x  x +  n 。 ② 对 任 意 自 然 数 N ， 存 在 自 然 数 n (n  N) 使 得 x  x − n 。 x 是 xn  的下极限当且仅当对任意正数  有 ：①存在 N 当 n> N 时 x  x − n 。 ② 对 任 意 自 然 数 N ， 存 在 自 然 数 n (n  N) 使 得