§7有理菡数插值 ◆研究有理插值问题的理论背景 ◆有理函数插值的基本概念 有理插值问题的提出 研究的向问题 有理插值的存在性 ◆连分式插值 令连分式插值在图像处理中的应用
§7 有理函数插值 ❖研究有理插值问题的理论背景 ❖有理函数插值的基本概念 有理插值问题的提出 研究的问题 有理插值的存在性 ❖连分式插值 ❖连分式插值在图像处理中的应用
1研宄有理插值间题的理论背景 前面讨论了用多项式逼近函数,它是一种 计算简便的逼近工具,但当函数f(x在某点 x0附近无界,或者当x→>而f(x)趋于某 一定值时,采用多项式插值是不恰当的 这是因为多项式不能反映在某点x附近无 界的函数性态,而当x→>∞时,多项式的 值总是趋于无穷,但有理分式函数,如 (4x+B)/(x-x)却能刻划这些函数性态
1.研究有理插值问题的理论背景 前面讨论了用多项式逼近函数，它是一种 计算简便的逼近工具，但当函数 在某点 附近无界，或者当 而 趋于某 一定值时，采用多项式插值是不恰当的， 这是因为多项式不能反映在某点 附近无 界的函数性态，而当 时，多项式的 值总是趋于无穷，但有理分式函数，如 ( Ax B x x + − ) ( 0 ) 却能刻划这些函数性态。 x → f x( ) 0 x f x( ) 0 x x →
2.有理函数插值 21问题的提出 设给定(x)在m+n+1个互异节点x (=01…m+)上的值f(x),所谓有理函数插 值问题,即寻求有理分式函数 (x)∑ R(x =0 (x)∑ (21 使之满足条件Rn(x)=f(x),=0,1…,m+n
2.有理函数插值 2.1 问题的提出 设给定 在m+n+1个互异节点 上的值 ，所谓有理函数插 值问题，即寻求有理分式函数 使之满足条件 f x( ) i x f x( i ) (i m n = + 0,1, , ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 m k m k k m n n k n k k P x a x R x Q x b x = = = = , ( ) ( ), 0,1, , . R x f x i m n m n i i = = + (2.1)
22研究的间题 Rm(x)表面上有m+n+2个待定参数a1b, 但实际上只有m+n+1个待定参数,故从插 值条件(21)可得关于系数的m+n+1个方 程组。下面必须研究三个问题 1)解的存在及唯一性; 2)如何构造有理插值函数 3)误差估计问题
2.2 研究的问题 表面上有m+n+2个待定参数 ， ， 但实际上只有m+n+1个待定参数，故从插 值条件（2.1）可得关于系数的m+n+1个方 程组。下面必须研究三个问题： 1) 解的存在及唯一性； 2) 如何构造有理插值函数； 3) 误差估计问题。 R x nm ( ) a i bi
23有理分式菡数的基撬念 设有两个分式函数 R(x)= (x).R2(x)=Q(x) Q,(x) 若存在一个非零常数a,使得 P(x)=aP2(x),2(x)=a@2(x) 则称R(x)邬(x)恒等,记为R(x)=R2(x) 若(x)Q(x)=P(x)Q1(x),则称它们是等价的, 记为R(x)~R2(x)(以后均视为同一函数)
2.3 有理分式函数的基本概念 设有两个分式函数 若存在一个非零常数a ，使得 则称 与 恒等，记为 . 若 则称它们是等价的， 记为 （以后均视为同一函数）. ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , P x R x Q x = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 , P x R x Q x = P x aP x Q x aQ x 1 2 1 2 ( ) = = ( ), , ( ) ( ) P x Q x P x Q x 1 2 2 1 ( ) ( ) = ( ) ( ), R x 1 ( ) R x 2 ( ) R x R x 1 2 ( ) ( ) R x R x 1 2 ( ) ( )