§6分段低次插值 ◆多项式插值的问题 ◆分段线性插值 ◆分段三次埃尔米特插值 小结
§6 分段低次插值 ❖多项式插值的问题 ❖分段线性插值 ❖分段三次埃尔米特插值 ❖小结
1.多项式插值的问题 前面介绍了构造插值公式的方法,并 分析了它们的余项。在实际应用插值函数 作近似计算时,总希望插值公式余项R,(x) 的绝对值小一些,即使得逼近的精度好。 从R(x)表达式看,似乎提高插值多项式的 次数便可达到目的,但实际上并非如此
1. 多项式插值的问题 前面介绍了构造插值公式的方法，并 分析了它们的余项。在实际应用插值函数 作近似计算时，总希望插值公式余项 的绝对值小一些，即使得逼近的精度好。 从 表达式看，似乎 提高插值多项式的 次数便可达到目的，但实际上并非如此。 R x n ( ) ( ) R x n
在插值过程中有两种误差:1)由插值函数 P(x)替代被插函数f(x)所引起的截断误差; 2)节点数据的误差。这种误差在插值过程 中是否会被扩散或放大呢?这就是插值过 程的稳定性问题。对任意的插值节点,当 n→时,P(x)不一定收敛到f(x),事实上 当n变大时,插值过程对于节点的数据误差 非常敏感,也就是说高次插值具有数值不 稳定性
在插值过程中有两种误差：1）由插值函数 替代被插函数 所引起的截断误差； 2）节点数据的误差。这种误差在插值过程 中是否会被扩散或放大呢？这就是插值过 程的稳定性问题。对任意的插值节点，当 时， 不一定收敛到 ，事实上， 当n变大时，插值过程对于节点的数据误差 非常敏感，也就是说高次插值具有数值不 稳定性。 P x n ( ) f x( ) n → f x( ) P x n ( )
例1给定函数 f(x)21+x 5≤x≤5, 取其等距节点x=-1+10in(=0…n),构 造的 Lagrange插值多项式为 1+x2 当n>∞时,P2(x)只能在≤363内收敛,而 在这个区间以外是发散的。这种畸形现象 通常叫做 Runge现象。如下图所示
例1 给定函数 取其等距节点 ， 构 造的Lagrange插值多项式为 当 时， 只能在 内收敛，而 在这个区间以外是发散的。这种畸形现象 通常叫做Runge现象。如下图所示。 x 3.63 x i n i n i = − + = 1 10 0,1, , ( ) ( ) 2 1 , 5 5, 1 f x x x = − + ( ) 2 0 1 ( ) 1 n n i j j p x l x = x = + n→ ( ) n p x
P(r) x 0.5 .5
2 1 1+ x P x n ( )