§4、解线性方程组的迭代法 ·迭代法概述 雅可比( Jacobi)迭代法 高斯一塞德尔( Gauss- Seidel)迭代法 ·松弛法 迭代法的收敛条件 误差估计
§4 、解线性方程组的迭代法 • 迭代法概述 • 雅可比(Jacobi)迭代法 • 高斯—塞德尔（Gauss-Seidel)迭代法 • 松弛法 • 迭代法的收敛条件 • 误差估计
迭代法概述 迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的 序列,即建立一种从已有近似解计算新的近似 解的规则。由不同的计算规则得到不同的迭代 法,本章介绍单步定常线性迭代法 直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方 程组,既使系数矩阵是稀疏的,但在运算中很难 保持稀疏性,因而有存储量大,程序复杂等不足. 迭代法则能保持矩阵的稀疏性,具有计算简 单,编制程序容易的优点,并在许多情况下收敛 较快。故能有效地解一些高阶方程组
一.迭代法概述 迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的 序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似 解的规则。由不同的计算规则得到不同的迭代 法，本章介绍单步定常线性迭代法。 直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方 程组，既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难 保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足. 迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简 单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛 较快。故能有效地解一些高阶方程组
对线性方程组Ax=b 其中A=(an)非奇异矩阵,b=(b1…,bn) 构造其形如x=Mx+g 的同解方程组,其中M为n阶价方阵,g∈R"。 任取初始向量x∈R",代入迭代公式 (k+1) Mx6)+g(k=0,1,2,…) 生向量序列{x()},当k充分大时,以x)作为 方程组Ax=b的近似解,这就是求解线性方程组 的单步定常线性迭代法。M称为迭代矩阵
1 (0) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) , (k=0,1,2, ) { } T ij n n n n n k k k k Ax b A a b b b x Mx g M n g R x R x Mx g x k x Ax b 对线性方程组 其中 非奇异矩阵， 构造其形如 的同解方程组，其中 为 阶方阵， 。 任取初始向量 代入迭代公式 产生向量序列 ，当 充分大时，以 作为 方程组 的近似解，这就是求解线 M 性方程组 的单步定常线性迭代法。 称为迭代矩阵
定义:设{x)}为R中的向量序列,x∈R,如果 m =0 k 其中·‖为向量范数,则称序列x收敛于x,记为 (k) mx X 定理:R中的向量序列x收敛于R中的向量x当且仅当 imx3=x(i=1,2,…,m) k->oo 其中x6)=(x18,x2)…x6),x=(x12x2…,xn)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( { } lim 0 { } lim { } lim k n n k k k k k n k n i k x R x R x x x x x x R x R x x ：设 为 中的向量序列， ，如果 其中 为向量范数，则称序列 收敛于 ，记为 ： 中的向量序列 收敛于 中的向量 当且仅当 定义 定理 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ( 1,2, , ) ( , , , ) , ( , , , ) k i k k k k T T n n x i n x x x x x x x x 其中
证:由定义x收敛于想m-=0 而对任意≤i≤n,有 (k (k) x:≤max 1≤j≤n 由极限存在准则得 imx=x|=0(=12…;n) →0 imx3=x(i=1,2;…,m)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) { } lim 0 1 0 max lim =0 ( 1,2, , ) lim k k k k k k i i j j j n k i i k k x x x x i n x x x x x x x x i n x 证：由定义， 收敛于 即 而对任意 ，有 由极限存在准则得 即 ( ) ( 1,2, , ) k i i x i n