§2.迭代法 改写方程:f(x)=0台x=0(x)且φ连续 建立迭代格式:xn;=(x),得到序列{x 则若{xn}收敛必收敛到f(x)=0的根: 若{x}收敛,即imxn=x,则 1→>0 lim xm=limp( m)=lim xm (x m) →x=qp(x)→f(x)=0
§2. 迭代法 改写方程： f (x) = 0 x =(x)且 连续。 建立迭代格式： ( ) x x x n n n +1 = ，得到序列 { } ( 0 n 则 若 x 收敛必收敛到 f x）= 的根： ( ) ( ) ( ) 1 * 1 * * * { } lim lim lim lim ( ) ( ) 0 n n n n n n n n n n n x x x x x f x x x x x x + → → → → + = = = = = = 若 收敛，即 ，则
x)=x2-1=0→{x=x -x f(x) (x-1) 选取x=x2-1-x a,b]=[0,3 x0=1.2,x1=x0-1-x0;x2=x2-1-x1;
( ) ( ) 2 2 2 0 1 0 2 2 1 1 2 0 1 1 0 1 1 [ [0 3], 1.2, 1 1 ; 1 ; 1 x x x x x x f x x x x x x x x x x x = − = = = − − − = = − − − − − − = − = a b ， 取 , ]= 选
迭代过程的几何表示 x=q(x)分 ∫y=g(x) 交点即为真根 X=y y=x y=0( D
迭代过程的几何表示 y x = ( ) y x = O x* x2 x1 x0 x y P0 Q1 P1 P2 * P Q2 ( ) ( ) y x x x x y = = = 交点即为真根
迭代法需解决的三个问题 迭代函数的构造 由迭代函数产生的解序列的收敛性 序列的收敛速度和误差估计
迭代法需解决的三个问题 迭代函数的构造 由迭代函数产生的解序列的收敛性 序列的收敛速度和误差估计
例:求方程f(x)=x32-x-1=0在x0=1.5附近的根x 解:()将方程改写为x=√x+1 由此建立迭代公式x=xk+1(k=0,12… k 0 7 X1.51.357211.3086 1.324721.32472 迭代收敛
3 * 0 例：求方程 f x x x x x ( ) 1 0 1.5 . = − − = = 在 附近的根 3 3 1 k 1 1 1 ( 0,1,2 ) k 0 1 2 7 8 x 1.5 1.35721 1.33086 1.32472 1.32472 k k x x x x k + = + = + = 解：（ ） 将方程改写为 由此建立迭代公式 迭代收敛