§5 Hermite插值公式 ☆ Hermite插值问题的提出 ◆三次 Hermite插值 插值基函数构造法 满足插值条件的牛顿插值法 误差估计 ◆2n+1次 Hermite插值多项式
§5 Hermite 插值公式 ❖ Hermite插值问题的提出 ❖ 三次 Hermite 插值 插值基函数构造法 满足插值条件的牛顿插值法 误差估计 ❖2n+1 次Hermite 插值多项式
1.升evwe插值问题的提出 由于理论与实践的需要,在构造插值函数 时,不但要求在节点上函数值相等,而且 还要求它的(高阶)导数值也相等(即要 求在节点上具有一定的光滑度),使得插 值函数与被插函数贴近程度更好,满足这 种要求的插值多项式就是 Hermite插值多 项式,有时也称为具有重节点插值或切触 插值。下面具体讨论三次情形
1. Hermite插值问题的提出 由于理论与实践的需要，在构造插值函数 时，不但要求在节点上函数值相等，而且 还要求它的（高阶）导数值也相等（即要 求在节点上具有一定的光滑度），使得插 值函数与被插函数贴近程度更好，满足这 种要求的插值多项式就是Hermite 插值多 项式，有时也称为具有重节点插值或切触 插值。下面具体讨论三次情形
2.次升evme插值 问题:求作三次多项式H3(x),使之满足 H3(x)=y,H(x)=y,i=01(2) 称之为两点三次 Hermite插值问题,称满足 插值条件(21)的H3(x)为三次 Hermite插 值多项式。下面采用构造基函数及牛顿插 值的方法来确定多项式H3(x)
2. 三次 Hermite 插值 问题：求作三次多项式 ，使之满足： 称之为两点三次Hermite插值问题，称满足 插值条件（2.1）的 为三次 Hermite 插 值多项式。下面采用构造基函数及牛顿插 值的方法来确定多项式 。 H x y H x y i 3 3 ( i i i i ) , , 0,1 2.1 ( ) ( ) = = = ( ) H x 3 ( ) H x 3 H x 3 ( )
2.1基函数构造法 构造基函数q(x)v(x)(=0),使之满足 0,i≠j g(x)=0(=0. v() 则 H3(x)=y9(x)+wg(x)+y6(x)+y1(x) 即为所求
2.1 基函数构造法 构造基函数 使之满足 则 即为所求。 i i ( x x i ), 0,1 , ( )( = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, , 0 0,1 , 0, , 0 0,1 i j ij i j i j ij i j i j x x i i j x x i = = = = = = = = H x y x y x y x y x 3 0 0 1 1 0 0 1 1 ( ) = + + + ( ) ( ) ( ) ( )
由插值条件,有 (x)=1,y(x)=0 (22) 0 0 2. 由(23)可设 a(x)=(x-x)[a(x-x)+b] 再由(22)可求得 b
由插值条件，有 由（2.3）可设 再由（2.2）可求得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 0 1 1, 0 2.2 0, 0 , 2.3 x x x x = = = = ( ) ( ) ( ) 2 0 1 0 x x x a x x b = − − + , ( ) ( ) 2 3 1 0 1 0 1 2 b a , x x x x = = − −