第三节 第三章 泰勒(Taylor)公式 理论分析 用多项式近似表示函数一应用 近似计算 一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 一、泰勒公式的建立 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用 用多项式近似表示函数 — 应用 理论分析 近似计算 泰勒 ( Taylor )公式 第三章
一、 泰勒公式的建立 在微分应用中已知近似公式 f(x)≈f(x)+f'(xx-x)） f(x Pi(x) x的一次多项式 特点p(xo)=f(xo) Xo x pi(x,)=f'(x)） 以直代曲 如何提高精度？ 需要解决的问题 如何估计误差？ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
特点: ( ) 0 = f x ( ) 0 = f x 一、泰勒公式的建立 f (x) x y y = f (x) o ( ) ( )( ) 0 0 0 f x + f x x − x 以直代曲 0 x ( ) 1 p x 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x x 的一次多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1.求n次近似多项式pn(x),要求： Pn(x)=f(o)Pn(xo)=f'(x0)。,p(xo)=f(）》 这样的次多硕式存在6)+a2(x-xo)广+.+an(x-xo) 则 Ph(x)= a+2a2(x-x)+.+nan(x-x0)"-I ph(x)= 21a2+.+n(n-1)a,(x-x)"-2 。0·。·。0 p(x)= nlan ao Pn(xo)=f(xo), a ph(x0)=f"(xo), a2=P()=f"(o）.,an=aP%》(xo)=f(xo》 Pn(x)=f(o)+f(xo)(x-x0)+f"(xo)(x-x0)+ +af(xox-x0乃 在 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
这样的n 次多项式存在？ 1. 求 n 次近似多项式 要求: ( ) 2! 0 1 2 a p x n = ( ), 0 = f x , ( ) 0 ( ) ! 1 a p x n n = n n ( ) 0 ( ) f x n = 故 pn (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 2 ! 1 ! 1 n n n f (x )(x x ) 0 0 ( ) + − ! 1 n 2 0 0 + f (x )(x − x ) 2! 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 pn (x) = 则 pn (x) = pn (x) = n p (n) (x) = n!a n ( ) 0 0 a p x = n ( ), 0 = f x ( ) 1 0 a p x n = ( ), 0 = f x a1 2 ( ) 2 0 + a x − x 1 0 ( ) − + + − n n n a x x 2 2!a 2 0 ( 1) ( ) − + + − − n n n n a x x a0 n n a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ − 存在
泰勒中值定理： 若f(x)在包含xo的某开区间(a,b)内具有 直到n+1阶的导数，则当x∈(a,b)时，有 j)=f)+xX-)+(x-P+ 21 +((x-x,)”+R,) n! 其中R(x)= f(5 (x-x)”1(传在x与x之间② (n+1)川 公式①称为f(x)的n阶泰勒公式 公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项 HIGH EDUCATION PRESS 泰勒目录上页下页返回结束
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒中值定理 : 阶的导数 , 时, 有 ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − R (x) + n ① 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ② 则当 ) 0 ( 在 x 与x之间 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束
注意到 Rn(x)=o[(x-xo)”] ③ 在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可写为 /)=f0)+f,Xx-)+wx-+ 21 +(x-xw+ox-x)门 n! 公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺Peano)余项 *可以证明 ∫(x)在点x,有直到n阶的导数 > ④式成立 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) 0 ( 0 ) 2 + 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − [( ) ] 0 n + o x − x ( ) [( ) ] 0 n n 注意到 R x = o x − x ③ ④ * 可以证明: ④ 式成立 机动 目录 上页 下页 返回 结束